Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59467 / 58443
↖ ↑ ↗
← S 80.248740°
E146.661988°		 ← 103.45 m → S 80.248740°
E146.667480°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
S 80.249670°
E146.661988°		 ← 103.44 m →
10 696 m²		 S 80.249670°
E146.667480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907402038574219 y=0.891777038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907402038574219 × 216)
    floor (0.907402038574219 × 65536)
    floor (59467.5)     		tx = 59467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891777038574219 × 216)
    floor (0.891777038574219 × 65536)
    floor (58443.5)     		ty = 58443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59467 / 58443 ti = "16/59467/58443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59467/58443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59467 ÷ 216
    59467 ÷ 65536     		x = 0.907394409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58443 ÷ 216
    58443 ÷ 65536     		y = 0.891769409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907394409179688 × 2 - 1) × π
    0.814788818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55973457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891769409179688 × 2 - 1) × π
    -0.783538818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.46155979548988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55973457} λ = 2.55973457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46155979548988))-π/2
    2×atan(0.0853017937921018)-π/2
    2×0.0850957958561156-π/2
    0.170191591712231-1.57079632675     		φ = -1.40060474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55973457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.661988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40060474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.248740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59467 KachelY 58443 2.55973457 -1.40060474 146.661988 -80.248740
    Oben rechts KachelX + 1 59468 KachelY 58443 2.55983044 -1.40060474 146.667480 -80.248740
    Unten links KachelX 59467 KachelY + 1 58444 2.55973457 -1.40062097 146.661988 -80.249670
    Unten rechts KachelX + 1 59468 KachelY + 1 58444 2.55983044 -1.40062097 146.667480 -80.249670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40060474--1.40062097) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dl = 103.401330001099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40060474--1.40062097) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dr = 103.401330001099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55973457-2.55983044) × cos(-1.40060474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169371170987471 × 6371000     		do = 103.449839829724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55973457-2.55983044) × cos(-1.40062097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169355175450755 × 6371000     		du = 103.440069951523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40060474)-sin(-1.40062097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169371170987471-0.169355175450755)×R²
    abs(2.55983044-2.55973457)×1.59955367154407e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59955367154407e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59955367154407e-05×40589641000000     		ar = 10696.3459176774m²