Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59465 / 85354
↖ ↑ ↗
← S 47.713457°
W 16.674500°		 ← 205.50 m → S 47.713457°
W 16.671753°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
S 47.715306°
W 16.674500°		 ← 205.49 m →
42 236 m²		 S 47.715306°
W 16.671753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453685760498047 y=0.651203155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453685760498047 × 217)
    floor (0.453685760498047 × 131072)
    floor (59465.5)     		tx = 59465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651203155517578 × 217)
    floor (0.651203155517578 × 131072)
    floor (85354.5)     		ty = 85354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59465 / 85354 ti = "17/59465/85354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59465/85354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59465 ÷ 217
    59465 ÷ 131072     		x = 0.453681945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85354 ÷ 217
    85354 ÷ 131072     		y = 0.651199340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453681945800781 × 2 - 1) × π
    -0.0926361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29102492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651199340820312 × 2 - 1) × π
    -0.302398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.950013476670273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29102492} λ = -0.29102492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950013476670273))-π/2
    2×atan(0.386735811508367)-π/2
    2×0.369019696327743-π/2
    0.738039392655486-1.57079632675     		φ = -0.83275693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29102492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.674500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83275693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.713457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59465 KachelY 85354 -0.29102492 -0.83275693 -16.674500 -47.713457
    Oben rechts KachelX + 1 59466 KachelY 85354 -0.29097698 -0.83275693 -16.671753 -47.713457
    Unten links KachelX 59465 KachelY + 1 85355 -0.29102492 -0.83278919 -16.674500 -47.715306
    Unten rechts KachelX + 1 59466 KachelY + 1 85355 -0.29097698 -0.83278919 -16.671753 -47.715306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83275693--0.83278919) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83275693--0.83278919) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29102492--0.29097698) × cos(-0.83275693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.672838772763482 × 6371000     		do = 205.502280072081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29102492--0.29097698) × cos(-0.83278919) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.672814906815406 × 6371000     		du = 205.494990797229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83275693)-sin(-0.83278919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672838772763482-0.672814906815406)×R²
    abs(-0.29097698--0.29102492)×2.38659480762404e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38659480762404e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38659480762404e-05×40589641000000     		ar = 42235.8180766462m²