Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59464 / 81960
↖ ↑ ↗
← S 41.062786°
W 16.677246°		 ← 230.24 m → S 41.062786°
W 16.674500°		 →
↑
230.25 m
↓
↑
230.25 m
↓
S 41.064857°
W 16.677246°		 ← 230.23 m →
53 011 m²		 S 41.064857°
W 16.674500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453678131103516 y=0.625308990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453678131103516 × 217)
    floor (0.453678131103516 × 131072)
    floor (59464.5)     		tx = 59464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625308990478516 × 217)
    floor (0.625308990478516 × 131072)
    floor (81960.5)     		ty = 81960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59464 / 81960 ti = "17/59464/81960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59464/81960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59464 ÷ 217
    59464 ÷ 131072     		x = 0.45367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81960 ÷ 217
    81960 ÷ 131072     		y = 0.62530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.0926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29107285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.2506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.787315639359802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29107285} λ = -0.29107285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787315639359802))-π/2
    2×atan(0.455064715007277)-π/2
    2×0.427057754935207-π/2
    0.854115509870414-1.57079632675     		φ = -0.71668082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29107285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.677246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71668082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.062786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59464 KachelY 81960 -0.29107285 -0.71668082 -16.677246 -41.062786
    Oben rechts KachelX + 1 59465 KachelY 81960 -0.29102492 -0.71668082 -16.674500 -41.062786
    Unten links KachelX 59464 KachelY + 1 81961 -0.29107285 -0.71671696 -16.677246 -41.064857
    Unten rechts KachelX + 1 59465 KachelY + 1 81961 -0.29102492 -0.71671696 -16.674500 -41.064857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71668082--0.71671696) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dl = 230.24793999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71668082--0.71671696) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dr = 230.24793999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29107285--0.29102492) × cos(-0.71668082) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.753990200236294 × 6371000     		do = 230.239978144135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29107285--0.29102492) × cos(-0.71671696) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.753966459895943 × 6371000     		du = 230.232728745613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71668082)-sin(-0.71671696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753990200236294-0.753966459895943)×R²
    abs(-0.29102492--0.29107285)×2.37403403503533e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37403403503533e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37403403503533e-05×40589641000000     		ar = 53011.4460995786m²