Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59464 / 59799
↖ ↑ ↗
← S 81.432775°
E146.645508°		 ← 91 m → S 81.432775°
E146.651001°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 81.433594°
E146.645508°		 ← 90.99 m →
8 284 m²		 S 81.433594°
E146.651001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907356262207031 y=0.912467956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907356262207031 × 216)
    floor (0.907356262207031 × 65536)
    floor (59464.5)     		tx = 59464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912467956542969 × 216)
    floor (0.912467956542969 × 65536)
    floor (59799.5)     		ty = 59799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59464 / 59799 ti = "16/59464/59799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59464/59799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59464 ÷ 216
    59464 ÷ 65536     		x = 0.9073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59799 ÷ 216
    59799 ÷ 65536     		y = 0.912460327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9073486328125 × 2 - 1) × π
    0.814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55944694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912460327148438 × 2 - 1) × π
    -0.824920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59156466725948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55944694} λ = 2.55944694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59156466725948))-π/2
    2×atan(0.0749027504683416)-π/2
    2×0.0747631414467985-π/2
    0.149526282893597-1.57079632675     		φ = -1.42127004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55944694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42127004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.432775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59464 KachelY 59799 2.55944694 -1.42127004 146.645508 -81.432775
    Oben rechts KachelX + 1 59465 KachelY 59799 2.55954282 -1.42127004 146.651001 -81.432775
    Unten links KachelX 59464 KachelY + 1 59800 2.55944694 -1.42128433 146.645508 -81.433594
    Unten rechts KachelX + 1 59465 KachelY + 1 59800 2.55954282 -1.42128433 146.651001 -81.433594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42127004--1.42128433) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42127004--1.42128433) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55944694-2.55954282) × cos(-1.42127004) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148969721807403 × 6371000     		do = 90.9983750411806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55944694-2.55954282) × cos(-1.42128433) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148955591243474 × 6371000     		du = 90.9897433652916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42127004)-sin(-1.42128433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148969721807403-0.148955591243474)×R²
    abs(2.55954282-2.55944694)×1.41305639286826e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41305639286826e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41305639286826e-05×40589641000000     		ar = 8284.24383079438m²