Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59464 / 59703
↖ ↑ ↗
← S 81.353859°
E146.645508°		 ← 91.83 m → S 81.353859°
E146.651001°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 81.354684°
E146.645508°		 ← 91.82 m →
8 430 m²		 S 81.354684°
E146.651001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907356262207031 y=0.911003112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907356262207031 × 216)
    floor (0.907356262207031 × 65536)
    floor (59464.5)     		tx = 59464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911003112792969 × 216)
    floor (0.911003112792969 × 65536)
    floor (59703.5)     		ty = 59703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59464 / 59703 ti = "16/59464/59703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59464/59703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59464 ÷ 216
    59464 ÷ 65536     		x = 0.9073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59703 ÷ 216
    59703 ÷ 65536     		y = 0.910995483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9073486328125 × 2 - 1) × π
    0.814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55944694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910995483398438 × 2 - 1) × π
    -0.821990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58236078253243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55944694} λ = 2.55944694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58236078253243))-π/2
    2×atan(0.0755953290670777)-π/2
    2×0.0754518204303636-π/2
    0.150903640860727-1.57079632675     		φ = -1.41989269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55944694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41989269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.353859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59464 KachelY 59703 2.55944694 -1.41989269 146.645508 -81.353859
    Oben rechts KachelX + 1 59465 KachelY 59703 2.55954282 -1.41989269 146.651001 -81.353859
    Unten links KachelX 59464 KachelY + 1 59704 2.55944694 -1.41990710 146.645508 -81.354684
    Unten rechts KachelX + 1 59465 KachelY + 1 59704 2.55954282 -1.41990710 146.651001 -81.354684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41989269--1.41990710) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dl = 91.8061100008363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41989269--1.41990710) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dr = 91.8061100008363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55944694-2.55954282) × cos(-1.41989269) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150331561267198 × 6371000     		do = 91.8302566907183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55944694-2.55954282) × cos(-1.41990710) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150317315012069 × 6371000     		du = 91.8215543446882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41989269)-sin(-1.41990710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150331561267198-0.150317315012069)×R²
    abs(2.55954282-2.55944694)×1.42462551291078e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42462551291078e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42462551291078e-05×40589641000000     		ar = 8430.17918320824m²