Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59460 / 84867
↖ ↑ ↗
← S 46.805700°
W 16.688232°		 ← 209.01 m → S 46.805700°
W 16.685486°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
S 46.807580°
W 16.688232°		 ← 209.01 m →
43 690 m²		 S 46.807580°
W 16.685486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453647613525391 y=0.647487640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453647613525391 × 217)
    floor (0.453647613525391 × 131072)
    floor (59460.5)     		tx = 59460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647487640380859 × 217)
    floor (0.647487640380859 × 131072)
    floor (84867.5)     		ty = 84867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59460 / 84867 ti = "17/59460/84867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59460/84867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59460 ÷ 217
    59460 ÷ 131072     		x = 0.453643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84867 ÷ 217
    84867 ÷ 131072     		y = 0.647483825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.09271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29126460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647483825683594 × 2 - 1) × π
    -0.294967651367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.926668206555305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29126460} λ = -0.29126460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926668206555305))-π/2
    2×atan(0.395870474211863)-π/2
    2×0.376941379704363-π/2
    0.753882759408726-1.57079632675     		φ = -0.81691357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29126460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.688232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81691357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.805700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59460 KachelY 84867 -0.29126460 -0.81691357 -16.688232 -46.805700
    Oben rechts KachelX + 1 59461 KachelY 84867 -0.29121667 -0.81691357 -16.685486 -46.805700
    Unten links KachelX 59460 KachelY + 1 84868 -0.29126460 -0.81694638 -16.688232 -46.807580
    Unten rechts KachelX + 1 59461 KachelY + 1 84868 -0.29121667 -0.81694638 -16.685486 -46.807580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81691357--0.81694638) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81691357--0.81694638) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29126460--0.29121667) × cos(-0.81691357) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.684474584693928 × 6371000     		do = 209.012548665431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29126460--0.29121667) × cos(-0.81694638) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.684450664630646 × 6371000     		du = 209.005244386349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81691357)-sin(-0.81694638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684474584693928-0.684450664630646)×R²
    abs(-0.29121667--0.29126460)×2.39200632815573e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39200632815573e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39200632815573e-05×40589641000000     		ar = 43689.6542570613m²