Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59460 / 58436
↖ ↑ ↗
← S 80.242225°
E146.623535°		 ← 103.52 m → S 80.242225°
E146.629028°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 80.243156°
E146.623535°		 ← 103.51 m →
10 717 m²		 S 80.243156°
E146.629028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907295227050781 y=0.891670227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907295227050781 × 216)
    floor (0.907295227050781 × 65536)
    floor (59460.5)     		tx = 59460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891670227050781 × 216)
    floor (0.891670227050781 × 65536)
    floor (58436.5)     		ty = 58436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59460 / 58436 ti = "16/59460/58436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59460/58436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59460 ÷ 216
    59460 ÷ 65536     		x = 0.90728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58436 ÷ 216
    58436 ÷ 65536     		y = 0.89166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90728759765625 × 2 - 1) × π
    0.8145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55906345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.7833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4608886788952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55906345} λ = 2.55906345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4608886788952))-π/2
    2×atan(0.0853590604556265)-π/2
    2×0.0851526485590742-π/2
    0.170305297118148-1.57079632675     		φ = -1.40049103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55906345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40049103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.242225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59460 KachelY 58436 2.55906345 -1.40049103 146.623535 -80.242225
    Oben rechts KachelX + 1 59461 KachelY 58436 2.55915932 -1.40049103 146.629028 -80.242225
    Unten links KachelX 59460 KachelY + 1 58437 2.55906345 -1.40050728 146.623535 -80.243156
    Unten rechts KachelX + 1 59461 KachelY + 1 58437 2.55915932 -1.40050728 146.629028 -80.243156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40049103--1.40050728) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40049103--1.40050728) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55906345-2.55915932) × cos(-1.40049103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169483237048342 × 6371000     		do = 103.518288409136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55906345-2.55915932) × cos(-1.40050728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169467222113576 × 6371000     		du = 103.508506682843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40049103)-sin(-1.40050728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169483237048342-0.169467222113576)×R²
    abs(2.55915932-2.55906345)×1.60149347663563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60149347663563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60149347663563e-05×40589641000000     		ar = 10716.6126563391m²