Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59459 / 84877
↖ ↑ ↗
← S 46.824496°
W 16.690979°		 ← 208.98 m → S 46.824496°
W 16.688232°		 →
↑
208.97 m
↓
↑
208.97 m
↓
S 46.826376°
W 16.690979°		 ← 208.98 m →
43 670 m²		 S 46.826376°
W 16.688232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453639984130859 y=0.647563934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453639984130859 × 217)
    floor (0.453639984130859 × 131072)
    floor (59459.5)     		tx = 59459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647563934326172 × 217)
    floor (0.647563934326172 × 131072)
    floor (84877.5)     		ty = 84877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59459 / 84877 ti = "17/59459/84877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59459/84877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59459 ÷ 217
    59459 ÷ 131072     		x = 0.453636169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84877 ÷ 217
    84877 ÷ 131072     		y = 0.647560119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453636169433594 × 2 - 1) × π
    -0.0927276611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29131254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647560119628906 × 2 - 1) × π
    -0.295120239257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.927147575551506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29131254} λ = -0.29131254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927147575551506))-π/2
    2×atan(0.395680751657203)-π/2
    2×0.376777350423504-π/2
    0.753554700847007-1.57079632675     		φ = -0.81724163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29131254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.690979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81724163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.824496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59459 KachelY 84877 -0.29131254 -0.81724163 -16.690979 -46.824496
    Oben rechts KachelX + 1 59460 KachelY 84877 -0.29126460 -0.81724163 -16.688232 -46.824496
    Unten links KachelX 59459 KachelY + 1 84878 -0.29131254 -0.81727443 -16.690979 -46.826376
    Unten rechts KachelX + 1 59460 KachelY + 1 84878 -0.29126460 -0.81727443 -16.688232 -46.826376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81724163--0.81727443) × R
    3.2799999999944e-05 × 6371000     		dl = 208.968799999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81724163--0.81727443) × R
    3.2799999999944e-05 × 6371000     		dr = 208.968799999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29131254--0.29126460) × cos(-0.81724163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684235380078271 × 6371000     		do = 208.983097294692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29131254--0.29126460) × cos(-0.81727443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684211459941799 × 6371000     		du = 208.975791469309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81724163)-sin(-0.81727443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684235380078271-0.684211459941799)×R²
    abs(-0.29126460--0.29131254)×2.39201364725661e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39201364725661e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39201364725661e-05×40589641000000     		ar = 43670.1837209895m²