Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59459 / 82118
↖ ↑ ↗
← S 41.389173°
W 16.690979°		 ← 229.14 m → S 41.389173°
W 16.688232°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 41.391234°
W 16.690979°		 ← 229.13 m →
52 496 m²		 S 41.391234°
W 16.688232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453639984130859 y=0.626514434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453639984130859 × 217)
    floor (0.453639984130859 × 131072)
    floor (59459.5)     		tx = 59459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626514434814453 × 217)
    floor (0.626514434814453 × 131072)
    floor (82118.5)     		ty = 82118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59459 / 82118 ti = "17/59459/82118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59459/82118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59459 ÷ 217
    59459 ÷ 131072     		x = 0.453636169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82118 ÷ 217
    82118 ÷ 131072     		y = 0.626510620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453636169433594 × 2 - 1) × π
    -0.0927276611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29131254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626510620117188 × 2 - 1) × π
    -0.253021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.794889669499771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29131254} λ = -0.29131254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794889669499771))-π/2
    2×atan(0.451631060854745)-π/2
    2×0.424209489461726-π/2
    0.848418978923453-1.57079632675     		φ = -0.72237735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29131254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.690979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72237735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.389173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59459 KachelY 82118 -0.29131254 -0.72237735 -16.690979 -41.389173
    Oben rechts KachelX + 1 59460 KachelY 82118 -0.29126460 -0.72237735 -16.688232 -41.389173
    Unten links KachelX 59459 KachelY + 1 82119 -0.29131254 -0.72241331 -16.690979 -41.391234
    Unten rechts KachelX + 1 59460 KachelY + 1 82119 -0.29126460 -0.72241331 -16.688232 -41.391234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72237735--0.72241331) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dl = 229.101159999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72237735--0.72241331) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dr = 229.101159999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29131254--0.29126460) × cos(-0.72237735) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.750236017943411 × 6371000     		do = 229.141390955135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29131254--0.29126460) × cos(-0.72241331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.750212241781105 × 6371000     		du = 229.134129103168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72237735)-sin(-0.72241331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750236017943411-0.750212241781105)×R²
    abs(-0.29126460--0.29131254)×2.37761623058663e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37761623058663e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37761623058663e-05×40589641000000     		ar = 52495.7266281209m²