Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59459 / 35764
↖ ↑ ↗
← N 63.010120°
W 16.690979°		 ← 138.61 m → N 63.010120°
W 16.688232°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 63.008873°
W 16.690979°		 ← 138.62 m →
19 217 m²		 N 63.008873°
W 16.688232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453639984130859 y=0.272861480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453639984130859 × 217)
    floor (0.453639984130859 × 131072)
    floor (59459.5)     		tx = 59459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272861480712891 × 217)
    floor (0.272861480712891 × 131072)
    floor (35764.5)     		ty = 35764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59459 / 35764 ti = "17/59459/35764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59459/35764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59459 ÷ 217
    59459 ÷ 131072     		x = 0.453636169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35764 ÷ 217
    35764 ÷ 131072     		y = 0.272857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453636169433594 × 2 - 1) × π
    -0.0927276611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29131254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272857666015625 × 2 - 1) × π
    0.45428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42717737548831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29131254} λ = -0.29131254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42717737548831))-π/2
    2×atan(4.16692092379131)-π/2
    2×1.33526519286434-π/2
    2.67053038572867-1.57079632675     		φ = 1.09973406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29131254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.690979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09973406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.010120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59459 KachelY 35764 -0.29131254 1.09973406 -16.690979 63.010120
    Oben rechts KachelX + 1 59460 KachelY 35764 -0.29126460 1.09973406 -16.688232 63.010120
    Unten links KachelX 59459 KachelY + 1 35765 -0.29131254 1.09971230 -16.690979 63.008873
    Unten rechts KachelX + 1 59460 KachelY + 1 35765 -0.29126460 1.09971230 -16.688232 63.008873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09973406-1.09971230) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09973406-1.09971230) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29131254--0.29126460) × cos(1.09973406) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453833113068033 × 6371000     		do = 138.612314395377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29131254--0.29126460) × cos(1.09971230) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453852503007162 × 6371000     		du = 138.618236581884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09973406)-sin(1.09971230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453833113068033-0.453852503007162)×R²
    abs(-0.29126460--0.29131254)×1.9389939128589e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9389939128589e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9389939128589e-05×40589641000000     		ar = 19216.6459429368m²