Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59458 / 59458
↖ ↑ ↗
← S 81.149171°
E146.612549°		 ← 93.99 m → S 81.149171°
E146.618042°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
S 81.150016°
E146.612549°		 ← 93.98 m →
8 832 m²		 S 81.150016°
E146.618042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907264709472656 y=0.907264709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907264709472656 × 216)
    floor (0.907264709472656 × 65536)
    floor (59458.5)     		tx = 59458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907264709472656 × 216)
    floor (0.907264709472656 × 65536)
    floor (59458.5)     		ty = 59458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59458 / 59458 ti = "16/59458/59458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59458/59458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59458 ÷ 216
    59458 ÷ 65536     		x = 0.907257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59458 ÷ 216
    59458 ÷ 65536     		y = 0.907257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907257080078125 × 2 - 1) × π
    0.81451416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55887170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.81451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5588717017186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55887170} λ = 2.55887170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5588717017186))-π/2
    2×atan(0.077392012474269)-π/2
    2×0.077238051626377-π/2
    0.154476103252754-1.57079632675     		φ = -1.41632022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55887170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.612549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41632022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.149171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59458 KachelY 59458 2.55887170 -1.41632022 146.612549 -81.149171
    Oben rechts KachelX + 1 59459 KachelY 59458 2.55896758 -1.41632022 146.618042 -81.149171
    Unten links KachelX 59458 KachelY + 1 59459 2.55887170 -1.41633497 146.612549 -81.150016
    Unten rechts KachelX + 1 59459 KachelY + 1 59459 2.55896758 -1.41633497 146.618042 -81.150016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41632022--1.41633497) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dl = 93.9722500004034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41632022--1.41633497) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dr = 93.9722500004034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55887170-2.55896758) × cos(-1.41632022) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153862465601388 × 6371000     		do = 93.9871148289955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55887170-2.55896758) × cos(-1.41633497) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153847891223612 × 6371000     		du = 93.9782120487607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41632022)-sin(-1.41633497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153862465601388-0.153847891223612)×R²
    abs(2.55896758-2.55887170)×1.45743777764384e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45743777764384e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45743777764384e-05×40589641000000     		ar = 8831.76234480085m²