Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59457 / 39493
↖ ↑ ↗
← N 57.977527°
W 16.696472°		 ← 161.92 m → N 57.977527°
W 16.693726°		 →
↑
161.95 m
↓
↑
161.95 m
↓
N 57.976071°
W 16.696472°		 ← 161.93 m →
26 223 m²		 N 57.976071°
W 16.693726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453624725341797 y=0.301311492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453624725341797 × 217)
    floor (0.453624725341797 × 131072)
    floor (59457.5)     		tx = 59457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301311492919922 × 217)
    floor (0.301311492919922 × 131072)
    floor (39493.5)     		ty = 39493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59457 / 39493 ti = "17/59457/39493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59457/39493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59457 ÷ 217
    59457 ÷ 131072     		x = 0.453620910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39493 ÷ 217
    39493 ÷ 131072     		y = 0.301307678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453620910644531 × 2 - 1) × π
    -0.0927581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29140841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301307678222656 × 2 - 1) × π
    0.397384643554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.24842067680512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29140841} λ = -0.29140841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24842067680512))-π/2
    2×atan(3.48483492849487)-π/2
    2×1.29134753130607-π/2
    2.58269506261214-1.57079632675     		φ = 1.01189874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29140841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.696472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01189874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.977527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59457 KachelY 39493 -0.29140841 1.01189874 -16.696472 57.977527
    Oben rechts KachelX + 1 59458 KachelY 39493 -0.29136048 1.01189874 -16.693726 57.977527
    Unten links KachelX 59457 KachelY + 1 39494 -0.29140841 1.01187332 -16.696472 57.976071
    Unten rechts KachelX + 1 59458 KachelY + 1 39494 -0.29136048 1.01187332 -16.693726 57.976071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01189874-1.01187332) × R
    2.54199999998317e-05 × 6371000     		dl = 161.950819998928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01189874-1.01187332) × R
    2.54199999998317e-05 × 6371000     		dr = 161.950819998928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29140841--0.29136048) × cos(1.01189874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.530251850108389 × 6371000     		do = 161.918781360452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29140841--0.29136048) × cos(1.01187332) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.530273402034513 × 6371000     		du = 161.925362500364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01189874)-sin(1.01187332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530251850108389-0.530273402034513)×R²
    abs(-0.29136048--0.29140841)×2.15519261245189e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15519261245189e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15519261245189e-05×40589641000000     		ar = 26223.4123265356m²