Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59457 / 39235
↖ ↑ ↗
← N 58.351307°
W 16.696472°		 ← 160.23 m → N 58.351307°
W 16.693726°		 →
↑
160.23 m
↓
↑
160.23 m
↓
N 58.349866°
W 16.696472°		 ← 160.23 m →
25 674 m²		 N 58.349866°
W 16.693726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453624725341797 y=0.299343109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453624725341797 × 217)
    floor (0.453624725341797 × 131072)
    floor (59457.5)     		tx = 59457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299343109130859 × 217)
    floor (0.299343109130859 × 131072)
    floor (39235.5)     		ty = 39235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59457 / 39235 ti = "17/59457/39235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59457/39235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59457 ÷ 217
    59457 ÷ 131072     		x = 0.453620910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39235 ÷ 217
    39235 ÷ 131072     		y = 0.299339294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453620910644531 × 2 - 1) × π
    -0.0927581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29140841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299339294433594 × 2 - 1) × π
    0.401321411132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.2607883969071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29140841} λ = -0.29140841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2607883969071))-π/2
    2×atan(3.52820201469778)-π/2
    2×1.29460937972726-π/2
    2.58921875945451-1.57079632675     		φ = 1.01842243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29140841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.696472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01842243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.351307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59457 KachelY 39235 -0.29140841 1.01842243 -16.696472 58.351307
    Oben rechts KachelX + 1 59458 KachelY 39235 -0.29136048 1.01842243 -16.693726 58.351307
    Unten links KachelX 59457 KachelY + 1 39236 -0.29140841 1.01839728 -16.696472 58.349866
    Unten rechts KachelX + 1 59458 KachelY + 1 39236 -0.29136048 1.01839728 -16.693726 58.349866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01842243-1.01839728) × R
    2.51499999999183e-05 × 6371000     		dl = 160.230649999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01842243-1.01839728) × R
    2.51499999999183e-05 × 6371000     		dr = 160.230649999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29140841--0.29136048) × cos(1.01842243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.524709559488874 × 6371000     		do = 160.226376246026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29140841--0.29136048) × cos(1.01839728) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.524730969048012 × 6371000     		du = 160.232913912466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01842243)-sin(1.01839728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524709559488874-0.524730969048012)×R²
    abs(-0.29136048--0.29140841)×2.14095591380969e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14095591380969e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14095591380969e-05×40589641000000     		ar = 25673.7001816895m²