Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59455 / 39488
↖ ↑ ↗
← N 57.984808°
W 16.701966°		 ← 161.92 m → N 57.984808°
W 16.699219°		 →
↑
161.95 m
↓
↑
161.95 m
↓
N 57.983352°
W 16.701966°		 ← 161.93 m →
26 224 m²		 N 57.983352°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453609466552734 y=0.301273345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453609466552734 × 217)
    floor (0.453609466552734 × 131072)
    floor (59455.5)     		tx = 59455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301273345947266 × 217)
    floor (0.301273345947266 × 131072)
    floor (39488.5)     		ty = 39488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59455 / 39488 ti = "17/59455/39488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59455/39488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59455 ÷ 217
    59455 ÷ 131072     		x = 0.453605651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39488 ÷ 217
    39488 ÷ 131072     		y = 0.30126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453605651855469 × 2 - 1) × π
    -0.0927886962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29150429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30126953125 × 2 - 1) × π
    0.3974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24866036130322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29150429} λ = -0.29150429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24866036130322))-π/2
    2×atan(3.48567028951321)-π/2
    2×1.29141107142426-π/2
    2.58282214284852-1.57079632675     		φ = 1.01202582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29150429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.701966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01202582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.984808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59455 KachelY 39488 -0.29150429 1.01202582 -16.701966 57.984808
    Oben rechts KachelX + 1 59456 KachelY 39488 -0.29145635 1.01202582 -16.699219 57.984808
    Unten links KachelX 59455 KachelY + 1 39489 -0.29150429 1.01200040 -16.701966 57.983352
    Unten rechts KachelX + 1 59456 KachelY + 1 39489 -0.29145635 1.01200040 -16.699219 57.983352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01202582-1.01200040) × R
    2.54200000000537e-05 × 6371000     		dl = 161.950820000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01202582-1.01200040) × R
    2.54200000000537e-05 × 6371000     		dr = 161.950820000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29150429--0.29145635) × cos(1.01202582) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.530144102296652 × 6371000     		do = 161.919654750672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29150429--0.29145635) × cos(1.01200040) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.530165655935549 × 6371000     		du = 161.926237786782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01202582)-sin(1.01200040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530144102296652-0.530165655935549)×R²
    abs(-0.29145635--0.29150429)×2.15536388971094e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15536388971094e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15536388971094e-05×40589641000000     		ar = 26223.553926491m²