Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59454 / 86042
↖ ↑ ↗
← S 48.969400°
W 16.704712°		 ← 200.46 m → S 48.969400°
W 16.701966°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
S 48.971203°
W 16.704712°		 ← 200.45 m →
40 190 m²		 S 48.971203°
W 16.701966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453601837158203 y=0.656452178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453601837158203 × 217)
    floor (0.453601837158203 × 131072)
    floor (59454.5)     		tx = 59454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656452178955078 × 217)
    floor (0.656452178955078 × 131072)
    floor (86042.5)     		ty = 86042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59454 / 86042 ti = "17/59454/86042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59454/86042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59454 ÷ 217
    59454 ÷ 131072     		x = 0.453598022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86042 ÷ 217
    86042 ÷ 131072     		y = 0.656448364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453598022460938 × 2 - 1) × π
    -0.092803955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29155222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656448364257812 × 2 - 1) × π
    -0.312896728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.982994063608871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29155222} λ = -0.29155222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982994063608871))-π/2
    2×atan(0.374189074093263)-π/2
    2×0.358059532056709-π/2
    0.716119064113418-1.57079632675     		φ = -0.85467726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29155222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.704712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85467726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.969400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59454 KachelY 86042 -0.29155222 -0.85467726 -16.704712 -48.969400
    Oben rechts KachelX + 1 59455 KachelY 86042 -0.29150429 -0.85467726 -16.701966 -48.969400
    Unten links KachelX 59454 KachelY + 1 86043 -0.29155222 -0.85470873 -16.704712 -48.971203
    Unten rechts KachelX + 1 59455 KachelY + 1 86043 -0.29150429 -0.85470873 -16.701966 -48.971203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85467726--0.85470873) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85467726--0.85470873) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29155222--0.29150429) × cos(-0.85467726) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656462005775822 × 6371000     		do = 200.458570701467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29155222--0.29150429) × cos(-0.85470873) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656438265770232 × 6371000     		du = 200.451321405168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85467726)-sin(-0.85470873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656462005775822-0.656438265770232)×R²
    abs(-0.29150429--0.29155222)×2.37400055902448e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37400055902448e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37400055902448e-05×40589641000000     		ar = 40190.2885806085m²