Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59451 / 86038
↖ ↑ ↗
← S 48.962187°
W 16.712951°		 ← 200.49 m → S 48.962187°
W 16.710205°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
S 48.963991°
W 16.712951°		 ← 200.48 m →
40 196 m²		 S 48.963991°
W 16.710205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453578948974609 y=0.656421661376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453578948974609 × 217)
    floor (0.453578948974609 × 131072)
    floor (59451.5)     		tx = 59451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656421661376953 × 217)
    floor (0.656421661376953 × 131072)
    floor (86038.5)     		ty = 86038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59451 / 86038 ti = "17/59451/86038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59451/86038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59451 ÷ 217
    59451 ÷ 131072     		x = 0.453575134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86038 ÷ 217
    86038 ÷ 131072     		y = 0.656417846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453575134277344 × 2 - 1) × π
    -0.0928497314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29169603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656417846679688 × 2 - 1) × π
    -0.312835693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.982802316010391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29169603} λ = -0.29169603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982802316010391))-π/2
    2×atan(0.374260830828969)-π/2
    2×0.358122474114965-π/2
    0.71624494822993-1.57079632675     		φ = -0.85455138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29169603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.712951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85455138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.962187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59451 KachelY 86038 -0.29169603 -0.85455138 -16.712951 -48.962187
    Oben rechts KachelX + 1 59452 KachelY 86038 -0.29164810 -0.85455138 -16.710205 -48.962187
    Unten links KachelX 59451 KachelY + 1 86039 -0.29169603 -0.85458285 -16.712951 -48.963991
    Unten rechts KachelX + 1 59452 KachelY + 1 86039 -0.29164810 -0.85458285 -16.710205 -48.963991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85455138--0.85458285) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85455138--0.85458285) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29169603--0.29164810) × cos(-0.85455138) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656556959296605 × 6371000     		do = 200.487565901329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29169603--0.29164810) × cos(-0.85458285) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656533221891693 × 6371000     		du = 200.480317399178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85455138)-sin(-0.85458285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656556959296605-0.656533221891693)×R²
    abs(-0.29164810--0.29169603)×2.37374049120165e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37374049120165e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37374049120165e-05×40589641000000     		ar = 40196.102063544m²