Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59451 / 81525
↖ ↑ ↗
← S 40.155786°
W 16.712951°		 ← 233.39 m → S 40.155786°
W 16.710205°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 40.157885°
W 16.712951°		 ← 233.38 m →
54 479 m²		 S 40.157885°
W 16.710205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453578948974609 y=0.621990203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453578948974609 × 217)
    floor (0.453578948974609 × 131072)
    floor (59451.5)     		tx = 59451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621990203857422 × 217)
    floor (0.621990203857422 × 131072)
    floor (81525.5)     		ty = 81525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59451 / 81525 ti = "17/59451/81525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59451/81525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59451 ÷ 217
    59451 ÷ 131072     		x = 0.453575134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81525 ÷ 217
    81525 ÷ 131072     		y = 0.621986389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453575134277344 × 2 - 1) × π
    -0.0928497314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29169603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621986389160156 × 2 - 1) × π
    -0.243972778320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.766463088025078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29169603} λ = -0.29169603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766463088025078))-π/2
    2×atan(0.464653604282521)-π/2
    2×0.434972822941365-π/2
    0.869945645882729-1.57079632675     		φ = -0.70085068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29169603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.712951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70085068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.155786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59451 KachelY 81525 -0.29169603 -0.70085068 -16.712951 -40.155786
    Oben rechts KachelX + 1 59452 KachelY 81525 -0.29164810 -0.70085068 -16.710205 -40.155786
    Unten links KachelX 59451 KachelY + 1 81526 -0.29169603 -0.70088732 -16.712951 -40.157885
    Unten rechts KachelX + 1 59452 KachelY + 1 81526 -0.29164810 -0.70088732 -16.710205 -40.157885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70085068--0.70088732) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dl = 233.433440000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70085068--0.70088732) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dr = 233.433440000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29169603--0.29164810) × cos(-0.70085068) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.764293887506927 × 6371000     		do = 233.386333005579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29169603--0.29164810) × cos(-0.70088732) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.764270259027086 × 6371000     		du = 233.379117765009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70085068)-sin(-0.70088732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764293887506927-0.764270259027086)×R²
    abs(-0.29164810--0.29169603)×2.36284798411646e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36284798411646e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36284798411646e-05×40589641000000     		ar = 54479.3324293113m²