Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59451 / 58438
↖ ↑ ↗
← S 80.244087°
E146.574097°		 ← 103.50 m → S 80.244087°
E146.579590°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 80.245018°
E146.574097°		 ← 103.49 m →
10 715 m²		 S 80.245018°
E146.579590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907157897949219 y=0.891700744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907157897949219 × 216)
    floor (0.907157897949219 × 65536)
    floor (59451.5)     		tx = 59451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891700744628906 × 216)
    floor (0.891700744628906 × 65536)
    floor (58438.5)     		ty = 58438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59451 / 58438 ti = "16/59451/58438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59451/58438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59451 ÷ 216
    59451 ÷ 65536     		x = 0.907150268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58438 ÷ 216
    58438 ÷ 65536     		y = 0.891693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907150268554688 × 2 - 1) × π
    0.814300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55820059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.78338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.46108042649368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55820059} λ = 2.55820059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46108042649368))-π/2
    2×atan(0.0853426946298796)-π/2
    2×0.0851364010924227-π/2
    0.170272802184845-1.57079632675     		φ = -1.40052352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55820059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.574097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40052352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.244087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59451 KachelY 58438 2.55820059 -1.40052352 146.574097 -80.244087
    Oben rechts KachelX + 1 59452 KachelY 58438 2.55829646 -1.40052352 146.579590 -80.244087
    Unten links KachelX 59451 KachelY + 1 58439 2.55820059 -1.40053977 146.574097 -80.245018
    Unten rechts KachelX + 1 59452 KachelY + 1 58439 2.55829646 -1.40053977 146.579590 -80.245018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40052352--1.40053977) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40052352--1.40053977) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55820059-2.55829646) × cos(-1.40052352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169451216989445 × 6371000     		do = 103.498730948767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55820059-2.55829646) × cos(-1.40053977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169435201965211 × 6371000     		du = 103.488949167828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40052352)-sin(-1.40053977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169451216989445-0.169435201965211)×R²
    abs(2.55829646-2.55820059)×1.60150242344836e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60150242344836e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60150242344836e-05×40589641000000     		ar = 10714.5878941372m²