Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59448 / 86039
↖ ↑ ↗
← S 48.963991°
W 16.721191°		 ← 200.48 m → S 48.963991°
W 16.718445°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
S 48.965794°
W 16.721191°		 ← 200.47 m →
40 195 m²		 S 48.965794°
W 16.718445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453556060791016 y=0.656429290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453556060791016 × 217)
    floor (0.453556060791016 × 131072)
    floor (59448.5)     		tx = 59448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656429290771484 × 217)
    floor (0.656429290771484 × 131072)
    floor (86039.5)     		ty = 86039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59448 / 86039 ti = "17/59448/86039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59448/86039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59448 ÷ 217
    59448 ÷ 131072     		x = 0.45355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86039 ÷ 217
    86039 ÷ 131072     		y = 0.656425476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45355224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0928955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29183984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656425476074219 × 2 - 1) × π
    -0.312850952148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.982850252910011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29183984} λ = -0.29183984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982850252910011))-π/2
    2×atan(0.374242890355098)-π/2
    2×0.358106737746912-π/2
    0.716213475493825-1.57079632675     		φ = -0.85458285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29183984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.721191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85458285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.963991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59448 KachelY 86039 -0.29183984 -0.85458285 -16.721191 -48.963991
    Oben rechts KachelX + 1 59449 KachelY 86039 -0.29179191 -0.85458285 -16.718445 -48.963991
    Unten links KachelX 59448 KachelY + 1 86040 -0.29183984 -0.85461432 -16.721191 -48.965794
    Unten rechts KachelX + 1 59449 KachelY + 1 86040 -0.29179191 -0.85461432 -16.718445 -48.965794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85458285--0.85461432) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85458285--0.85461432) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29183984--0.29179191) × cos(-0.85458285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656533221891693 × 6371000     		do = 200.480317399411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29183984--0.29179191) × cos(-0.85461432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656509483836576 × 6371000     		du = 200.473068698712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85458285)-sin(-0.85461432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656533221891693-0.656509483836576)×R²
    abs(-0.29179191--0.29183984)×2.37380551167954e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37380551167954e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37380551167954e-05×40589641000000     		ar = 40194.6487526318m²