Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59445 / 82539
↖ ↑ ↗
← S 42.250885°
W 16.729431°		 ← 226.08 m → S 42.250885°
W 16.726685°		 →
↑
226.04 m
↓
↑
226.04 m
↓
S 42.252918°
W 16.729431°		 ← 226.07 m →
51 103 m²		 S 42.252918°
W 16.726685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453533172607422 y=0.629726409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453533172607422 × 217)
    floor (0.453533172607422 × 131072)
    floor (59445.5)     		tx = 59445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629726409912109 × 217)
    floor (0.629726409912109 × 131072)
    floor (82539.5)     		ty = 82539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59445 / 82539 ti = "17/59445/82539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59445/82539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59445 ÷ 217
    59445 ÷ 131072     		x = 0.453529357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82539 ÷ 217
    82539 ÷ 131072     		y = 0.629722595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453529357910156 × 2 - 1) × π
    -0.0929412841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29198366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629722595214844 × 2 - 1) × π
    -0.259445190429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.815071104239815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29198366} λ = -0.29198366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815071104239815))-π/2
    2×atan(0.442607854947391)-π/2
    2×0.416689637805781-π/2
    0.833379275611562-1.57079632675     		φ = -0.73741705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29198366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.729431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73741705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.250885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59445 KachelY 82539 -0.29198366 -0.73741705 -16.729431 -42.250885
    Oben rechts KachelX + 1 59446 KachelY 82539 -0.29193572 -0.73741705 -16.726685 -42.250885
    Unten links KachelX 59445 KachelY + 1 82540 -0.29198366 -0.73745253 -16.729431 -42.252918
    Unten rechts KachelX + 1 59446 KachelY + 1 82540 -0.29193572 -0.73745253 -16.726685 -42.252918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73741705--0.73745253) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dl = 226.043079999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73741705--0.73745253) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dr = 226.043079999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29198366--0.29193572) × cos(-0.73741705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740207745360934 × 6371000     		do = 226.078498380446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29198366--0.29193572) × cos(-0.73745253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740183888915189 × 6371000     		du = 226.071212007851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73741705)-sin(-0.73745253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740207745360934-0.740183888915189)×R²
    abs(-0.29193572--0.29198366)×2.38564457447632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38564457447632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38564457447632e-05×40589641000000     		ar = 51102.6565840216m²