Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59442 / 82003
↖ ↑ ↗
← S 41.151774°
W 16.737671°		 ← 229.98 m → S 41.151774°
W 16.734924°		 →
↑
229.99 m
↓
↑
229.99 m
↓
S 41.153842°
W 16.737671°		 ← 229.97 m →
52 892 m²		 S 41.153842°
W 16.734924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453510284423828 y=0.625637054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453510284423828 × 217)
    floor (0.453510284423828 × 131072)
    floor (59442.5)     		tx = 59442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625637054443359 × 217)
    floor (0.625637054443359 × 131072)
    floor (82003.5)     		ty = 82003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59442 / 82003 ti = "17/59442/82003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59442/82003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59442 ÷ 217
    59442 ÷ 131072     		x = 0.453506469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82003 ÷ 217
    82003 ÷ 131072     		y = 0.625633239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453506469726562 × 2 - 1) × π
    -0.092987060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29212747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625633239746094 × 2 - 1) × π
    -0.251266479492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.789376926043465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29212747} λ = -0.29212747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789376926043465))-π/2
    2×atan(0.45412766226898)-π/2
    2×0.42628118613322-π/2
    0.85256237226644-1.57079632675     		φ = -0.71823395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29212747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.737671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71823395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.151774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59442 KachelY 82003 -0.29212747 -0.71823395 -16.737671 -41.151774
    Oben rechts KachelX + 1 59443 KachelY 82003 -0.29207953 -0.71823395 -16.734924 -41.151774
    Unten links KachelX 59442 KachelY + 1 82004 -0.29212747 -0.71827005 -16.737671 -41.153842
    Unten rechts KachelX + 1 59443 KachelY + 1 82004 -0.29207953 -0.71827005 -16.734924 -41.153842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71823395--0.71827005) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dl = 229.993099999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71823395--0.71827005) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dr = 229.993099999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29212747--0.29207953) × cos(-0.71823395) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.752969062420099 × 6371000     		do = 229.97613308688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29212747--0.29207953) × cos(-0.71827005) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.752945306110831 × 6371000     		du = 229.968877298543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71823395)-sin(-0.71827005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752969062420099-0.752945306110831)×R²
    abs(-0.29207953--0.29212747)×2.3756309268208e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3756309268208e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3756309268208e-05×40589641000000     		ar = 52892.0893897116m²