Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59442 / 59098
↖ ↑ ↗
← S 80.839656°
E146.524658°		 ← 97.24 m → S 80.839656°
E146.530151°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
S 80.840530°
E146.524658°		 ← 97.23 m →
9 453 m²		 S 80.840530°
E146.530151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907020568847656 y=0.901771545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907020568847656 × 216)
    floor (0.907020568847656 × 65536)
    floor (59442.5)     		tx = 59442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901771545410156 × 216)
    floor (0.901771545410156 × 65536)
    floor (59098.5)     		ty = 59098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59442 / 59098 ti = "16/59442/59098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59442/59098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59442 ÷ 216
    59442 ÷ 65536     		x = 0.907012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59098 ÷ 216
    59098 ÷ 65536     		y = 0.901763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907012939453125 × 2 - 1) × π
    0.81402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55733772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.80352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52435713399216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55733772} λ = 2.55733772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52435713399216))-π/2
    2×atan(0.0801097961013198)-π/2
    2×0.0799390826345454-π/2
    0.159878165269091-1.57079632675     		φ = -1.41091816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55733772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.524658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41091816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.839656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59442 KachelY 59098 2.55733772 -1.41091816 146.524658 -80.839656
    Oben rechts KachelX + 1 59443 KachelY 59098 2.55743359 -1.41091816 146.530151 -80.839656
    Unten links KachelX 59442 KachelY + 1 59099 2.55733772 -1.41093342 146.524658 -80.840530
    Unten rechts KachelX + 1 59443 KachelY + 1 59099 2.55743359 -1.41093342 146.530151 -80.840530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41091816--1.41093342) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41091816--1.41093342) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55733772-2.55743359) × cos(-1.41091816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159197928368038 × 6371000     		do = 97.2361476565315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55733772-2.55743359) × cos(-1.41093342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15918286296507 × 6371000     		du = 97.2269458926483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41091816)-sin(-1.41093342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159197928368038-0.15918286296507)×R²
    abs(2.55743359-2.55733772)×1.50654029683894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50654029683894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50654029683894e-05×40589641000000     		ar = 9452.99293566532m²