Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59440 / 82571
↖ ↑ ↗
← S 42.315909°
W 16.743164°		 ← 225.85 m → S 42.315909°
W 16.740417°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.317940°
W 16.743164°		 ← 225.84 m →
51 007 m²		 S 42.317940°
W 16.740417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453495025634766 y=0.629970550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453495025634766 × 217)
    floor (0.453495025634766 × 131072)
    floor (59440.5)     		tx = 59440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629970550537109 × 217)
    floor (0.629970550537109 × 131072)
    floor (82571.5)     		ty = 82571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59440 / 82571 ti = "17/59440/82571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59440/82571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59440 ÷ 217
    59440 ÷ 131072     		x = 0.4534912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82571 ÷ 217
    82571 ÷ 131072     		y = 0.629966735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4534912109375 × 2 - 1) × π
    -0.093017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29222334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629966735839844 × 2 - 1) × π
    -0.259933471679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.816605085027657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29222334} λ = -0.29222334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816605085027657))-π/2
    2×atan(0.441929423484803)-π/2
    2×0.41612219838125-π/2
    0.8322443967625-1.57079632675     		φ = -0.73855193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29222334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.743164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73855193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.315909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59440 KachelY 82571 -0.29222334 -0.73855193 -16.743164 -42.315909
    Oben rechts KachelX + 1 59441 KachelY 82571 -0.29217540 -0.73855193 -16.740417 -42.315909
    Unten links KachelX 59440 KachelY + 1 82572 -0.29222334 -0.73858738 -16.743164 -42.317940
    Unten rechts KachelX + 1 59441 KachelY + 1 82572 -0.29217540 -0.73858738 -16.740417 -42.317940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73855193--0.73858738) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dl = 225.851950000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73855193--0.73858738) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dr = 225.851950000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29222334--0.29217540) × cos(-0.73855193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739444200234829 × 6371000     		do = 225.845292045544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29222334--0.29217540) × cos(-0.73858738) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.73942033419739 × 6371000     		du = 225.838002743398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73855193)-sin(-0.73858738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739444200234829-0.73942033419739)×R²
    abs(-0.29217540--0.29222334)×2.38660374393129e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38660374393129e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38660374393129e-05×40589641000000     		ar = 51006.7764604811m²