Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59439 / 85425
↖ ↑ ↗
← S 47.844501°
W 16.745911°		 ← 204.98 m → S 47.844501°
W 16.743164°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
S 47.846344°
W 16.745911°		 ← 204.98 m →
42 012 m²		 S 47.846344°
W 16.743164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453487396240234 y=0.651744842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453487396240234 × 217)
    floor (0.453487396240234 × 131072)
    floor (59439.5)     		tx = 59439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651744842529297 × 217)
    floor (0.651744842529297 × 131072)
    floor (85425.5)     		ty = 85425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59439 / 85425 ti = "17/59439/85425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59439/85425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59439 ÷ 217
    59439 ÷ 131072     		x = 0.453483581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85425 ÷ 217
    85425 ÷ 131072     		y = 0.651741027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453483581542969 × 2 - 1) × π
    -0.0930328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29227128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651741027832031 × 2 - 1) × π
    -0.303482055664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.953416996543297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29227128} λ = -0.29227128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953416996543297))-π/2
    2×atan(0.385421785912869)-π/2
    2×0.367876127557299-π/2
    0.735752255114598-1.57079632675     		φ = -0.83504407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29227128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.745911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83504407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.844501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59439 KachelY 85425 -0.29227128 -0.83504407 -16.745911 -47.844501
    Oben rechts KachelX + 1 59440 KachelY 85425 -0.29222334 -0.83504407 -16.743164 -47.844501
    Unten links KachelX 59439 KachelY + 1 85426 -0.29227128 -0.83507624 -16.745911 -47.846344
    Unten rechts KachelX + 1 59440 KachelY + 1 85426 -0.29222334 -0.83507624 -16.743164 -47.846344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83504407--0.83507624) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83504407--0.83507624) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29227128--0.29222334) × cos(-0.83504407) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671145013070812 × 6371000     		do = 204.984962264565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29227128--0.29222334) × cos(-0.83507624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67112116426322 × 6371000     		du = 204.977678224858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83504407)-sin(-0.83507624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671145013070812-0.67112116426322)×R²
    abs(-0.29222334--0.29227128)×2.38488075919863e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38488075919863e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38488075919863e-05×40589641000000     		ar = 42011.9608431444m²