Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59439 / 38841
↖ ↑ ↗
← N 58.914574°
W 16.745911°		 ← 157.70 m → N 58.914574°
W 16.743164°		 →
↑
157.68 m
↓
↑
157.68 m
↓
N 58.913156°
W 16.745911°		 ← 157.70 m →
24 866 m²		 N 58.913156°
W 16.743164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453487396240234 y=0.296337127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453487396240234 × 217)
    floor (0.453487396240234 × 131072)
    floor (59439.5)     		tx = 59439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296337127685547 × 217)
    floor (0.296337127685547 × 131072)
    floor (38841.5)     		ty = 38841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59439 / 38841 ti = "17/59439/38841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59439/38841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59439 ÷ 217
    59439 ÷ 131072     		x = 0.453483581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38841 ÷ 217
    38841 ÷ 131072     		y = 0.296333312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453483581542969 × 2 - 1) × π
    -0.0930328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29227128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296333312988281 × 2 - 1) × π
    0.407333374023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.2796755353574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29227128} λ = -0.29227128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2796755353574))-π/2
    2×atan(3.59547293244795)-π/2
    2×1.29952480893187-π/2
    2.59904961786374-1.57079632675     		φ = 1.02825329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29227128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.745911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02825329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.914574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59439 KachelY 38841 -0.29227128 1.02825329 -16.745911 58.914574
    Oben rechts KachelX + 1 59440 KachelY 38841 -0.29222334 1.02825329 -16.743164 58.914574
    Unten links KachelX 59439 KachelY + 1 38842 -0.29227128 1.02822854 -16.745911 58.913156
    Unten rechts KachelX + 1 59440 KachelY + 1 38842 -0.29222334 1.02822854 -16.743164 58.913156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02825329-1.02822854) × R
    2.47500000001288e-05 × 6371000     		dl = 157.682250000821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02825329-1.02822854) × R
    2.47500000001288e-05 × 6371000     		dr = 157.682250000821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29227128--0.29222334) × cos(1.02825329) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.516315511571034 × 6371000     		do = 157.696047195141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29227128--0.29222334) × cos(1.02822854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.516336707274349 × 6371000     		du = 157.702520908511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02825329)-sin(1.02822854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516315511571034-0.516336707274349)×R²
    abs(-0.29222334--0.29227128)×2.11957033148247e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11957033148247e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11957033148247e-05×40589641000000     		ar = 24866.3779342179m²