Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59438 / 82570
↖ ↑ ↗
← S 42.313877°
W 16.748657°		 ← 225.81 m → S 42.313877°
W 16.745911°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.315909°
W 16.748657°		 ← 225.80 m →
50 998 m²		 S 42.315909°
W 16.745911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453479766845703 y=0.629962921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453479766845703 × 217)
    floor (0.453479766845703 × 131072)
    floor (59438.5)     		tx = 59438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629962921142578 × 217)
    floor (0.629962921142578 × 131072)
    floor (82570.5)     		ty = 82570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59438 / 82570 ti = "17/59438/82570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59438/82570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59438 ÷ 217
    59438 ÷ 131072     		x = 0.453475952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82570 ÷ 217
    82570 ÷ 131072     		y = 0.629959106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453475952148438 × 2 - 1) × π
    -0.093048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29231921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629959106445312 × 2 - 1) × π
    -0.259918212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816557148128036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29231921} λ = -0.29231921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816557148128036))-π/2
    2×atan(0.441950608718989)-π/2
    2×0.416139921998433-π/2
    0.832279843996866-1.57079632675     		φ = -0.73851648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29231921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.748657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73851648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.313877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59438 KachelY 82570 -0.29231921 -0.73851648 -16.748657 -42.313877
    Oben rechts KachelX + 1 59439 KachelY 82570 -0.29227128 -0.73851648 -16.745911 -42.313877
    Unten links KachelX 59438 KachelY + 1 82571 -0.29231921 -0.73855193 -16.748657 -42.315909
    Unten rechts KachelX + 1 59439 KachelY + 1 82571 -0.29227128 -0.73855193 -16.745911 -42.315909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73851648--0.73855193) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73851648--0.73855193) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29231921--0.29227128) × cos(-0.73851648) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739468065343007 × 6371000     		do = 225.80546955319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29231921--0.29227128) × cos(-0.73855193) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739444200234829 × 6371000     		du = 225.798182055311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73851648)-sin(-0.73855193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739468065343007-0.739444200234829)×R²
    abs(-0.29227128--0.29231921)×2.38651081778674e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38651081778674e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38651081778674e-05×40589641000000     		ar = 50997.7826767147m²