Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59437 / 82128
↖ ↑ ↗
← S 41.409776°
W 16.751404°		 ← 229.07 m → S 41.409776°
W 16.748657°		 →
↑
229.04 m
↓
↑
229.04 m
↓
S 41.411836°
W 16.751404°		 ← 229.06 m →
52 464 m²		 S 41.411836°
W 16.748657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453472137451172 y=0.626590728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453472137451172 × 217)
    floor (0.453472137451172 × 131072)
    floor (59437.5)     		tx = 59437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626590728759766 × 217)
    floor (0.626590728759766 × 131072)
    floor (82128.5)     		ty = 82128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59437 / 82128 ti = "17/59437/82128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59437/82128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59437 ÷ 217
    59437 ÷ 131072     		x = 0.453468322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82128 ÷ 217
    82128 ÷ 131072     		y = 0.6265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453468322753906 × 2 - 1) × π
    -0.0930633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29236715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.795369038495972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29236715} λ = -0.29236715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795369038495972))-π/2
    2×atan(0.451414614809356)-π/2
    2×0.424029698015303-π/2
    0.848059396030606-1.57079632675     		φ = -0.72273693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29236715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.751404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72273693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.409776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59437 KachelY 82128 -0.29236715 -0.72273693 -16.751404 -41.409776
    Oben rechts KachelX + 1 59438 KachelY 82128 -0.29231921 -0.72273693 -16.748657 -41.409776
    Unten links KachelX 59437 KachelY + 1 82129 -0.29236715 -0.72277288 -16.751404 -41.411836
    Unten rechts KachelX + 1 59438 KachelY + 1 82129 -0.29231921 -0.72277288 -16.748657 -41.411836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72273693--0.72277288) × R
    3.59499999998958e-05 × 6371000     		dl = 229.037449999336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72273693--0.72277288) × R
    3.59499999998958e-05 × 6371000     		dr = 229.037449999336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29236715--0.29231921) × cos(-0.72273693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.749998225897634 × 6371000     		do = 229.068763143587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29236715--0.29231921) × cos(-0.72277288) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.749974446650763 × 6371000     		du = 229.061500349515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72273693)-sin(-0.72277288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749998225897634-0.749974446650763)×R²
    abs(-0.29231921--0.29236715)×2.37792468711362e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37792468711362e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37792468711362e-05×40589641000000     		ar = 52464.4936645194m²