Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59437 / 58835
↖ ↑ ↗
← S 80.606777°
E146.497192°		 ← 99.70 m → S 80.606777°
E146.502686°		 →
↑
99.64 m
↓
↑
99.64 m
↓
S 80.607673°
E146.497192°		 ← 99.69 m →
9 934 m²		 S 80.607673°
E146.502686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906944274902344 y=0.897758483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906944274902344 × 216)
    floor (0.906944274902344 × 65536)
    floor (59437.5)     		tx = 59437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897758483886719 × 216)
    floor (0.897758483886719 × 65536)
    floor (58835.5)     		ty = 58835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59437 / 58835 ti = "16/59437/58835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59437/58835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59437 ÷ 216
    59437 ÷ 65536     		x = 0.906936645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58835 ÷ 216
    58835 ÷ 65536     		y = 0.897750854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906936645507812 × 2 - 1) × π
    0.813873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55685835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897750854492188 × 2 - 1) × π
    -0.795501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49914232479201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55685835} λ = 2.55685835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49914232479201))-π/2
    2×atan(0.0821554310919399)-π/2
    2×0.0819713396015226-π/2
    0.163942679203045-1.57079632675     		φ = -1.40685365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55685835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.497192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40685365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.606777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59437 KachelY 58835 2.55685835 -1.40685365 146.497192 -80.606777
    Oben rechts KachelX + 1 59438 KachelY 58835 2.55695423 -1.40685365 146.502686 -80.606777
    Unten links KachelX 59437 KachelY + 1 58836 2.55685835 -1.40686929 146.497192 -80.607673
    Unten rechts KachelX + 1 59438 KachelY + 1 58836 2.55695423 -1.40686929 146.502686 -80.607673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40685365--1.40686929) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dl = 99.6424399998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40685365--1.40686929) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dr = 99.6424399998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55685835-2.55695423) × cos(-1.40685365) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163209276356271 × 6371000     		do = 99.6966280118917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55685835-2.55695423) × cos(-1.40686929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163193846045692 × 6371000     		du = 99.6872023838379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40685365)-sin(-1.40686929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163209276356271-0.163193846045692)×R²
    abs(2.55695423-2.55685835)×1.54303105786568e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.54303105786568e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.54303105786568e-05×40589641000000     		ar = 9933.54567867439m²