Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59437 / 38765
↖ ↑ ↗
← N 59.022182°
W 16.751404°		 ← 157.20 m → N 59.022182°
W 16.748657°		 →
↑
157.17 m
↓
↑
157.17 m
↓
N 59.020768°
W 16.751404°		 ← 157.21 m →
24 709 m²		 N 59.020768°
W 16.748657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453472137451172 y=0.295757293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453472137451172 × 217)
    floor (0.453472137451172 × 131072)
    floor (59437.5)     		tx = 59437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295757293701172 × 217)
    floor (0.295757293701172 × 131072)
    floor (38765.5)     		ty = 38765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59437 / 38765 ti = "17/59437/38765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59437/38765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59437 ÷ 217
    59437 ÷ 131072     		x = 0.453468322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38765 ÷ 217
    38765 ÷ 131072     		y = 0.295753479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453468322753906 × 2 - 1) × π
    -0.0930633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29236715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295753479003906 × 2 - 1) × π
    0.408493041992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.28331873972852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29236715} λ = -0.29236715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28331873972852))-π/2
    2×atan(3.60859586540007)-π/2
    2×1.30046386413705-π/2
    2.6009277282741-1.57079632675     		φ = 1.03013140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29236715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.751404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03013140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.022182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59437 KachelY 38765 -0.29236715 1.03013140 -16.751404 59.022182
    Oben rechts KachelX + 1 59438 KachelY 38765 -0.29231921 1.03013140 -16.748657 59.022182
    Unten links KachelX 59437 KachelY + 1 38766 -0.29236715 1.03010673 -16.751404 59.020768
    Unten rechts KachelX + 1 59438 KachelY + 1 38766 -0.29231921 1.03010673 -16.748657 59.020768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03013140-1.03010673) × R
    2.46699999999489e-05 × 6371000     		dl = 157.172569999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03013140-1.03010673) × R
    2.46699999999489e-05 × 6371000     		dr = 157.172569999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29236715--0.29231921) × cos(1.03013140) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514706191438679 × 6371000     		do = 157.204519402819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29236715--0.29231921) × cos(1.03010673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514727342516787 × 6371000     		du = 157.210979486502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03013140)-sin(1.03010673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514706191438679-0.514727342516787)×R²
    abs(-0.29231921--0.29236715)×2.11510781074065e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11510781074065e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11510781074065e-05×40589641000000     		ar = 24708.7460054862m²