Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59436 / 82129
↖ ↑ ↗
← S 41.411836°
W 16.754151°		 ← 229.06 m → S 41.411836°
W 16.751404°		 →
↑
229.04 m
↓
↑
229.04 m
↓
S 41.413895°
W 16.754151°		 ← 229.05 m →
52 463 m²		 S 41.413895°
W 16.751404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453464508056641 y=0.626598358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453464508056641 × 217)
    floor (0.453464508056641 × 131072)
    floor (59436.5)     		tx = 59436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626598358154297 × 217)
    floor (0.626598358154297 × 131072)
    floor (82129.5)     		ty = 82129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59436 / 82129 ti = "17/59436/82129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59436/82129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59436 ÷ 217
    59436 ÷ 131072     		x = 0.453460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82129 ÷ 217
    82129 ÷ 131072     		y = 0.626594543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.09307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29241509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626594543457031 × 2 - 1) × π
    -0.253189086914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.795416975395592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29241509} λ = -0.29241509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795416975395592))-π/2
    2×atan(0.451392975910934)-π/2
    2×0.424011722005471-π/2
    0.848023444010943-1.57079632675     		φ = -0.72277288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29241509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.754151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72277288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.411836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59436 KachelY 82129 -0.29241509 -0.72277288 -16.754151 -41.411836
    Oben rechts KachelX + 1 59437 KachelY 82129 -0.29236715 -0.72277288 -16.751404 -41.411836
    Unten links KachelX 59436 KachelY + 1 82130 -0.29241509 -0.72280883 -16.754151 -41.413895
    Unten rechts KachelX + 1 59437 KachelY + 1 82130 -0.29236715 -0.72280883 -16.751404 -41.413895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72277288--0.72280883) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dl = 229.037450000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72277288--0.72280883) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dr = 229.037450000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29241509--0.29236715) × cos(-0.72277288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.749974446650763 × 6371000     		do = 229.06150034925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29241509--0.29236715) × cos(-0.72280883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.749950666434623 × 6371000     		du = 229.054237259138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72277288)-sin(-0.72280883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749974446650763-0.749950666434623)×R²
    abs(-0.29236715--0.29241509)×2.37802161401346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37802161401346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37802161401346e-05×40589641000000     		ar = 52462.8301790761m²