Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59433 / 82570
↖ ↑ ↗
← S 42.313877°
W 16.762390°		 ← 225.85 m → S 42.313877°
W 16.759643°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.315909°
W 16.762390°		 ← 225.85 m →
51 008 m²		 S 42.315909°
W 16.759643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453441619873047 y=0.629962921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453441619873047 × 217)
    floor (0.453441619873047 × 131072)
    floor (59433.5)     		tx = 59433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629962921142578 × 217)
    floor (0.629962921142578 × 131072)
    floor (82570.5)     		ty = 82570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59433 / 82570 ti = "17/59433/82570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59433/82570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59433 ÷ 217
    59433 ÷ 131072     		x = 0.453437805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82570 ÷ 217
    82570 ÷ 131072     		y = 0.629959106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453437805175781 × 2 - 1) × π
    -0.0931243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29255890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629959106445312 × 2 - 1) × π
    -0.259918212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816557148128036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29255890} λ = -0.29255890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816557148128036))-π/2
    2×atan(0.441950608718989)-π/2
    2×0.416139921998433-π/2
    0.832279843996866-1.57079632675     		φ = -0.73851648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29255890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.762390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73851648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.313877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59433 KachelY 82570 -0.29255890 -0.73851648 -16.762390 -42.313877
    Oben rechts KachelX + 1 59434 KachelY 82570 -0.29251096 -0.73851648 -16.759643 -42.313877
    Unten links KachelX 59433 KachelY + 1 82571 -0.29255890 -0.73855193 -16.762390 -42.315909
    Unten rechts KachelX + 1 59434 KachelY + 1 82571 -0.29251096 -0.73855193 -16.759643 -42.315909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73851648--0.73855193) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73851648--0.73855193) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29255890--0.29251096) × cos(-0.73851648) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739468065343007 × 6371000     		do = 225.85258106387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29255890--0.29251096) × cos(-0.73855193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739444200234829 × 6371000     		du = 225.845292045544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73851648)-sin(-0.73855193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739468065343007-0.739444200234829)×R²
    abs(-0.29251096--0.29255890)×2.38651081778674e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38651081778674e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38651081778674e-05×40589641000000     		ar = 51008.4227315724m²