Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59432 / 59735
↖ ↑ ↗
← S 81.380244°
E146.469726°		 ← 91.55 m → S 81.380244°
E146.475220°		 →
↑
91.55 m
↓
↑
91.55 m
↓
S 81.381067°
E146.469726°		 ← 91.54 m →
8 381 m²		 S 81.381067°
E146.475220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906867980957031 y=0.911491394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906867980957031 × 216)
    floor (0.906867980957031 × 65536)
    floor (59432.5)     		tx = 59432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911491394042969 × 216)
    floor (0.911491394042969 × 65536)
    floor (59735.5)     		ty = 59735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59432 / 59735 ti = "16/59432/59735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59432/59735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59432 ÷ 216
    59432 ÷ 65536     		x = 0.9068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59735 ÷ 216
    59735 ÷ 65536     		y = 0.911483764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9068603515625 × 2 - 1) × π
    0.813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55637898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911483764648438 × 2 - 1) × π
    -0.822967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58542874410811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55637898} λ = 2.55637898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58542874410811))-π/2
    2×atan(0.0753637609049446)-π/2
    2×0.0752215640769168-π/2
    0.150443128153834-1.57079632675     		φ = -1.42035320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55637898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42035320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.380244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59432 KachelY 59735 2.55637898 -1.42035320 146.469726 -81.380244
    Oben rechts KachelX + 1 59433 KachelY 59735 2.55647486 -1.42035320 146.475220 -81.380244
    Unten links KachelX 59432 KachelY + 1 59736 2.55637898 -1.42036757 146.469726 -81.381067
    Unten rechts KachelX + 1 59433 KachelY + 1 59736 2.55647486 -1.42036757 146.475220 -81.381067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42035320--1.42036757) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dl = 91.5512699995558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42035320--1.42036757) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dr = 91.5512699995558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55637898-2.55647486) × cos(-1.42035320) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149876268745975 × 6371000     		do = 91.5521405802966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55637898-2.55647486) × cos(-1.42036757) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149862061043088 × 6371000     		du = 91.5434617839608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42035320)-sin(-1.42036757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149876268745975-0.149862061043088)×R²
    abs(2.55647486-2.55637898)×1.42077028869037e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42077028869037e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42077028869037e-05×40589641000000     		ar = 8381.31746432811m²