Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59432 / 29817
↖ ↑ ↗
← N 69.541239°
W 16.765137°		 ← 106.76 m → N 69.541239°
W 16.762390°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 69.540279°
W 16.765137°		 ← 106.76 m →
11 393 m²		 N 69.540279°
W 16.762390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453433990478516 y=0.227489471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453433990478516 × 217)
    floor (0.453433990478516 × 131072)
    floor (59432.5)     		tx = 59432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227489471435547 × 217)
    floor (0.227489471435547 × 131072)
    floor (29817.5)     		ty = 29817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59432 / 29817 ti = "17/59432/29817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59432/29817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59432 ÷ 217
    59432 ÷ 131072     		x = 0.45343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29817 ÷ 217
    29817 ÷ 131072     		y = 0.227485656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.0931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29260684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227485656738281 × 2 - 1) × π
    0.545028686523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.71225811752879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29260684} λ = -0.29260684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71225811752879))-π/2
    2×atan(5.54146062941829)-π/2
    2×1.39225995519891-π/2
    2.78451991039782-1.57079632675     		φ = 1.21372358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29260684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.765137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21372358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.541239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59432 KachelY 29817 -0.29260684 1.21372358 -16.765137 69.541239
    Oben rechts KachelX + 1 59433 KachelY 29817 -0.29255890 1.21372358 -16.762390 69.541239
    Unten links KachelX 59432 KachelY + 1 29818 -0.29260684 1.21370683 -16.765137 69.540279
    Unten rechts KachelX + 1 59433 KachelY + 1 29818 -0.29255890 1.21370683 -16.762390 69.540279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21372358-1.21370683) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21372358-1.21370683) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29260684--0.29255890) × cos(1.21372358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349533120926218 × 6371000     		do = 106.75641211333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29260684--0.29255890) × cos(1.21370683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349548814354324 × 6371000     		du = 106.761205290222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21372358)-sin(1.21370683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349533120926218-0.349548814354324)×R²
    abs(-0.29255890--0.29260684)×1.56934281056453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56934281056453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56934281056453e-05×40589641000000     		ar = 11392.6862016941m²