Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59431 / 59549
↖ ↑ ↗
← S 81.225753°
E146.464233°		 ← 93.17 m → S 81.225753°
E146.469726°		 →
↑
93.14 m
↓
↑
93.14 m
↓
S 81.226591°
E146.464233°		 ← 93.16 m →
8 678 m²		 S 81.226591°
E146.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906852722167969 y=0.908653259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906852722167969 × 216)
    floor (0.906852722167969 × 65536)
    floor (59431.5)     		tx = 59431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908653259277344 × 216)
    floor (0.908653259277344 × 65536)
    floor (59549.5)     		ty = 59549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59431 / 59549 ti = "16/59431/59549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59431/59549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59431 ÷ 216
    59431 ÷ 65536     		x = 0.906845092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59549 ÷ 216
    59549 ÷ 65536     		y = 0.908645629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906845092773438 × 2 - 1) × π
    0.813690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55628311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908645629882812 × 2 - 1) × π
    -0.817291259765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56759621744945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55628311} λ = 2.55628311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56759621744945))-π/2
    2×atan(0.0767197415274953)-π/2
    2×0.0765697488243632-π/2
    0.153139497648726-1.57079632675     		φ = -1.41765683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55628311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.464233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41765683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.225753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59431 KachelY 59549 2.55628311 -1.41765683 146.464233 -81.225753
    Oben rechts KachelX + 1 59432 KachelY 59549 2.55637898 -1.41765683 146.469726 -81.225753
    Unten links KachelX 59431 KachelY + 1 59550 2.55628311 -1.41767145 146.464233 -81.226591
    Unten rechts KachelX + 1 59432 KachelY + 1 59550 2.55637898 -1.41767145 146.469726 -81.226591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41765683--1.41767145) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dl = 93.1440199997784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41765683--1.41767145) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dr = 93.1440199997784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55628311-2.55637898) × cos(-1.41765683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152541634540805 × 6371000     		do = 93.1705647933315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55628311-2.55637898) × cos(-1.41767145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152527185621701 × 6371000     		du = 93.161739570253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41765683)-sin(-1.41767145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152541634540805-0.152527185621701)×R²
    abs(2.55637898-2.55628311)×1.44489191040709e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44489191040709e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44489191040709e-05×40589641000000     		ar = 8677.86994228778m²