Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59429 / 82783
↖ ↑ ↗
← S 42.744995°
W 16.773377°		 ← 224.30 m → S 42.744995°
W 16.770630°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.747012°
W 16.773377°		 ← 224.29 m →
50 315 m²		 S 42.747012°
W 16.770630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453411102294922 y=0.631587982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453411102294922 × 217)
    floor (0.453411102294922 × 131072)
    floor (59429.5)     		tx = 59429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631587982177734 × 217)
    floor (0.631587982177734 × 131072)
    floor (82783.5)     		ty = 82783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59429 / 82783 ti = "17/59429/82783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59429/82783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59429 ÷ 217
    59429 ÷ 131072     		x = 0.453407287597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82783 ÷ 217
    82783 ÷ 131072     		y = 0.631584167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453407287597656 × 2 - 1) × π
    -0.0931854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29275065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631584167480469 × 2 - 1) × π
    -0.263168334960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.826767707747109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29275065} λ = -0.29275065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826767707747109))-π/2
    2×atan(0.437461005366755)-π/2
    2×0.412377711207047-π/2
    0.824755422414094-1.57079632675     		φ = -0.74604090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29275065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.773377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74604090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.744995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59429 KachelY 82783 -0.29275065 -0.74604090 -16.773377 -42.744995
    Oben rechts KachelX + 1 59430 KachelY 82783 -0.29270271 -0.74604090 -16.770630 -42.744995
    Unten links KachelX 59429 KachelY + 1 82784 -0.29275065 -0.74607611 -16.773377 -42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 59430 KachelY + 1 82784 -0.29270271 -0.74607611 -16.770630 -42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74604090--0.74607611) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dl = 224.322909999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74604090--0.74607611) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dr = 224.322909999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29275065--0.29270271) × cos(-0.74604090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.734381803427431 × 6371000     		do = 224.29910575447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29275065--0.29270271) × cos(-0.74607611) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 224.291806454725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74604090)-sin(-0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734381803427431-0.734357904656667)×R²
    abs(-0.29270271--0.29275065)×2.38987707641414e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38987707641414e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38987707641414e-05×40589641000000     		ar = 50314.6094182289m²