Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59427 / 82581
↖ ↑ ↗
← S 42.336215°
W 16.778870°		 ← 225.77 m → S 42.336215°
W 16.776123°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 42.338245°
W 16.778870°		 ← 225.77 m →
50 962 m²		 S 42.338245°
W 16.776123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453395843505859 y=0.630046844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453395843505859 × 217)
    floor (0.453395843505859 × 131072)
    floor (59427.5)     		tx = 59427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630046844482422 × 217)
    floor (0.630046844482422 × 131072)
    floor (82581.5)     		ty = 82581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59427 / 82581 ti = "17/59427/82581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59427/82581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59427 ÷ 217
    59427 ÷ 131072     		x = 0.453392028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82581 ÷ 217
    82581 ÷ 131072     		y = 0.630043029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453392028808594 × 2 - 1) × π
    -0.0932159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29284652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630043029785156 × 2 - 1) × π
    -0.260086059570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.817084454023857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29284652} λ = -0.29284652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817084454023857))-π/2
    2×atan(0.441717626989069)-π/2
    2×0.415944993668229-π/2
    0.831889987336458-1.57079632675     		φ = -0.73890634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29284652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.778870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73890634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.336215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59427 KachelY 82581 -0.29284652 -0.73890634 -16.778870 -42.336215
    Oben rechts KachelX + 1 59428 KachelY 82581 -0.29279858 -0.73890634 -16.776123 -42.336215
    Unten links KachelX 59427 KachelY + 1 82582 -0.29284652 -0.73894177 -16.778870 -42.338245
    Unten rechts KachelX + 1 59428 KachelY + 1 82582 -0.29279858 -0.73894177 -16.776123 -42.338245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73890634--0.73894177) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73890634--0.73894177) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29284652--0.29279858) × cos(-0.73890634) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739205558661815 × 6371000     		do = 225.772404766512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29284652--0.29279858) × cos(-0.73894177) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739181696805892 × 6371000     		du = 225.765116741509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73890634)-sin(-0.73894177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739205558661815-0.739181696805892)×R²
    abs(-0.29279858--0.29284652)×2.38618559235126e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38618559235126e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38618559235126e-05×40589641000000     		ar = 50961.5474152614m²