Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59427 / 27360
↖ ↑ ↗
← N 71.773941°
W 16.778870°		 ← 95.53 m → N 71.773941°
W 16.776123°		 →
↑
95.56 m
↓
↑
95.56 m
↓
N 71.773082°
W 16.778870°		 ← 95.53 m →
9 129 m²		 N 71.773082°
W 16.776123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453395843505859 y=0.208744049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453395843505859 × 217)
    floor (0.453395843505859 × 131072)
    floor (59427.5)     		tx = 59427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208744049072266 × 217)
    floor (0.208744049072266 × 131072)
    floor (27360.5)     		ty = 27360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59427 / 27360 ti = "17/59427/27360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59427/27360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59427 ÷ 217
    59427 ÷ 131072     		x = 0.453392028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27360 ÷ 217
    27360 ÷ 131072     		y = 0.208740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453392028808594 × 2 - 1) × π
    -0.0932159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29284652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208740234375 × 2 - 1) × π
    0.58251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83003907989526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29284652} λ = -0.29284652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83003907989526))-π/2
    2×atan(6.23413028292279)-π/2
    2×1.4117439574983-π/2
    2.82348791499659-1.57079632675     		φ = 1.25269159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29284652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.778870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25269159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.773941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59427 KachelY 27360 -0.29284652 1.25269159 -16.778870 71.773941
    Oben rechts KachelX + 1 59428 KachelY 27360 -0.29279858 1.25269159 -16.776123 71.773941
    Unten links KachelX 59427 KachelY + 1 27361 -0.29284652 1.25267659 -16.778870 71.773082
    Unten rechts KachelX + 1 59428 KachelY + 1 27361 -0.29279858 1.25267659 -16.776123 71.773082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25269159-1.25267659) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dl = 95.5649999992114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25269159-1.25267659) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dr = 95.5649999992114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29284652--0.29279858) × cos(1.25269159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312766945767353 × 6371000     		do = 95.5270758585815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29284652--0.29279858) × cos(1.25267659) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312781193180656 × 6371000     		du = 95.5314273853326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25269159)-sin(1.25267659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312766945767353-0.312781193180656)×R²
    abs(-0.29279858--0.29284652)×1.42474133028037e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42474133028037e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42474133028037e-05×40589641000000     		ar = 9129.25293146224m²