Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59426 / 35960
↖ ↑ ↗
← N 62.764783°
W 16.781616°		 ← 139.78 m → N 62.764783°
W 16.778870°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
N 62.763526°
W 16.781616°		 ← 139.78 m →
19 538 m²		 N 62.763526°
W 16.778870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453388214111328 y=0.274356842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453388214111328 × 217)
    floor (0.453388214111328 × 131072)
    floor (59426.5)     		tx = 59426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274356842041016 × 217)
    floor (0.274356842041016 × 131072)
    floor (35960.5)     		ty = 35960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59426 / 35960 ti = "17/59426/35960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59426/35960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59426 ÷ 217
    59426 ÷ 131072     		x = 0.453384399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35960 ÷ 217
    35960 ÷ 131072     		y = 0.27435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453384399414062 × 2 - 1) × π
    -0.093231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29289446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27435302734375 × 2 - 1) × π
    0.4512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41778174316278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29289446} λ = -0.29289446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41778174316278))-π/2
    2×atan(4.12795341571482)-π/2
    2×1.33312422489597-π/2
    2.66624844979195-1.57079632675     		φ = 1.09545212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29289446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.781616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09545212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.764783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59426 KachelY 35960 -0.29289446 1.09545212 -16.781616 62.764783
    Oben rechts KachelX + 1 59427 KachelY 35960 -0.29284652 1.09545212 -16.778870 62.764783
    Unten links KachelX 59426 KachelY + 1 35961 -0.29289446 1.09543018 -16.781616 62.763526
    Unten rechts KachelX + 1 59427 KachelY + 1 35961 -0.29284652 1.09543018 -16.778870 62.763526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09545212-1.09543018) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dl = 139.779740000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09545212-1.09543018) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dr = 139.779740000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29289446--0.29284652) × cos(1.09545212) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.457644520678001 × 6371000     		do = 139.776416385094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29289446--0.29284652) × cos(1.09543018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.457664028195237 × 6371000     		du = 139.782374482981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09545212)-sin(1.09543018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457644520678001-0.457664028195237)×R²
    abs(-0.29284652--0.29289446)×1.95075172356174e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95075172356174e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95075172356174e-05×40589641000000     		ar = 19538.3275520814m²