Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59424 / 54688
↖ ↑ ↗
← N 28.536275°
W 16.787109°		 ← 268.32 m → N 28.536275°
W 16.784363°		 →
↑
268.35 m
↓
↑
268.35 m
↓
N 28.533861°
W 16.787109°		 ← 268.33 m →
72 004 m²		 N 28.533861°
W 16.784363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453372955322266 y=0.417240142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453372955322266 × 217)
    floor (0.453372955322266 × 131072)
    floor (59424.5)     		tx = 59424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417240142822266 × 217)
    floor (0.417240142822266 × 131072)
    floor (54688.5)     		ty = 54688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59424 / 54688 ti = "17/59424/54688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59424/54688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59424 ÷ 217
    59424 ÷ 131072     		x = 0.453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54688 ÷ 217
    54688 ÷ 131072     		y = 0.417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29299033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.520019487078369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29299033} λ = -0.29299033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.520019487078369))-π/2
    2×atan(1.68206042782289)-π/2
    2×1.03442413664323-π/2
    2.06884827328645-1.57079632675     		φ = 0.49805195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29299033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49805195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.536275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59424 KachelY 54688 -0.29299033 0.49805195 -16.787109 28.536275
    Oben rechts KachelX + 1 59425 KachelY 54688 -0.29294239 0.49805195 -16.784363 28.536275
    Unten links KachelX 59424 KachelY + 1 54689 -0.29299033 0.49800983 -16.787109 28.533861
    Unten rechts KachelX + 1 59425 KachelY + 1 54689 -0.29294239 0.49800983 -16.784363 28.533861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49805195-0.49800983) × R
    4.21200000000344e-05 × 6371000     		dl = 268.346520000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49805195-0.49800983) × R
    4.21200000000344e-05 × 6371000     		dr = 268.346520000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29299033--0.29294239) × cos(0.49805195) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878514841052166 × 6371000     		do = 268.321045429475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29299033--0.29294239) × cos(0.49800983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878534961631005 × 6371000     		du = 268.327190772156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49805195)-sin(0.49800983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878514841052166-0.878534961631005)×R²
    abs(-0.29294239--0.29299033)×2.01205788388226e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01205788388226e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01205788388226e-05×40589641000000     		ar = 72003.8433350992m²