Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59423 / 59543
↖ ↑ ↗
← S 81.220724°
E146.420288°		 ← 93.22 m → S 81.220724°
E146.425781°		 →
↑
93.21 m
↓
↑
93.21 m
↓
S 81.221563°
E146.420288°		 ← 93.21 m →
8 689 m²		 S 81.221563°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906730651855469 y=0.908561706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906730651855469 × 216)
    floor (0.906730651855469 × 65536)
    floor (59423.5)     		tx = 59423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908561706542969 × 216)
    floor (0.908561706542969 × 65536)
    floor (59543.5)     		ty = 59543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59423 / 59543 ti = "16/59423/59543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59423/59543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59423 ÷ 216
    59423 ÷ 65536     		x = 0.906723022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59543 ÷ 216
    59543 ÷ 65536     		y = 0.908554077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906723022460938 × 2 - 1) × π
    0.813446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55551612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.817108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56702097465401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55551612} λ = 2.55551612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56702097465401))-π/2
    2×atan(0.0767638867019565)-π/2
    2×0.0766136355365386-π/2
    0.153227271073077-1.57079632675     		φ = -1.41756906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55551612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.420288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41756906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.220724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59423 KachelY 59543 2.55551612 -1.41756906 146.420288 -81.220724
    Oben rechts KachelX + 1 59424 KachelY 59543 2.55561199 -1.41756906 146.425781 -81.220724
    Unten links KachelX 59423 KachelY + 1 59544 2.55551612 -1.41758369 146.420288 -81.221563
    Unten rechts KachelX + 1 59424 KachelY + 1 59544 2.55561199 -1.41758369 146.425781 -81.221563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41756906--1.41758369) × R
    1.46300000001265e-05 × 6371000     		dl = 93.2077300008058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41756906--1.41758369) × R
    1.46300000001265e-05 × 6371000     		dr = 93.2077300008058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55551612-2.55561199) × cos(-1.41756906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152628376784802 × 6371000     		do = 93.2235458951067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55551612-2.55561199) × cos(-1.41758369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152613918178626 × 6371000     		du = 93.2147147552834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41756906)-sin(-1.41758369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152628376784802-0.152613918178626)×R²
    abs(2.55561199-2.55551612)×1.44586061756602e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44586061756602e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44586061756602e-05×40589641000000     		ar = 8688.74353016021m²