Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59422 / 82736
↖ ↑ ↗
← S 42.650122°
W 16.792602°		 ← 224.60 m → S 42.650122°
W 16.789856°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.652142°
W 16.792602°		 ← 224.59 m →
50 453 m²		 S 42.652142°
W 16.789856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453357696533203 y=0.631229400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453357696533203 × 217)
    floor (0.453357696533203 × 131072)
    floor (59422.5)     		tx = 59422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631229400634766 × 217)
    floor (0.631229400634766 × 131072)
    floor (82736.5)     		ty = 82736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59422 / 82736 ti = "17/59422/82736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59422/82736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59422 ÷ 217
    59422 ÷ 131072     		x = 0.453353881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82736 ÷ 217
    82736 ÷ 131072     		y = 0.6312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453353881835938 × 2 - 1) × π
    -0.093292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29308620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6312255859375 × 2 - 1) × π
    -0.262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29308620} λ = -0.29308620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824514673464966))-π/2
    2×atan(0.438447731155063)-π/2
    2×0.413205637393427-π/2
    0.826411274786854-1.57079632675     		φ = -0.74438505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29308620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.792602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74438505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.650122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59422 KachelY 82736 -0.29308620 -0.74438505 -16.792602 -42.650122
    Oben rechts KachelX + 1 59423 KachelY 82736 -0.29303827 -0.74438505 -16.789856 -42.650122
    Unten links KachelX 59422 KachelY + 1 82737 -0.29308620 -0.74442031 -16.792602 -42.652142
    Unten rechts KachelX + 1 59423 KachelY + 1 82737 -0.29303827 -0.74442031 -16.789856 -42.652142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74438505--0.74442031) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74438505--0.74442031) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29308620--0.29303827) × cos(-0.74438505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.7355046821282 × 6371000     		do = 224.595202809309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29308620--0.29303827) × cos(-0.74442031) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.735480792328485 × 6371000     		du = 224.587907771572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74438505)-sin(-0.74442031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7355046821282-0.735480792328485)×R²
    abs(-0.29303827--0.29308620)×2.38897997154597e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38897997154597e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38897997154597e-05×40589641000000     		ar = 50452.5748892834m²