Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59422 / 45634
↖ ↑ ↗
← N 47.868459°
W 16.792602°		 ← 204.85 m → N 47.868459°
W 16.789856°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
N 47.866617°
W 16.792602°		 ← 204.85 m →
41 972 m²		 N 47.866617°
W 16.789856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453357696533203 y=0.348163604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453357696533203 × 217)
    floor (0.453357696533203 × 131072)
    floor (59422.5)     		tx = 59422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348163604736328 × 217)
    floor (0.348163604736328 × 131072)
    floor (45634.5)     		ty = 45634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59422 / 45634 ti = "17/59422/45634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59422/45634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59422 ÷ 217
    59422 ÷ 131072     		x = 0.453353881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45634 ÷ 217
    45634 ÷ 131072     		y = 0.348159790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453353881835938 × 2 - 1) × π
    -0.093292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29308620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348159790039062 × 2 - 1) × π
    0.303680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.954040176238358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29308620} λ = -0.29308620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954040176238358))-π/2
    2×atan(2.59617751379025)-π/2
    2×1.20312927290583-π/2
    2.40625854581166-1.57079632675     		φ = 0.83546222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29308620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.792602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83546222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.868459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59422 KachelY 45634 -0.29308620 0.83546222 -16.792602 47.868459
    Oben rechts KachelX + 1 59423 KachelY 45634 -0.29303827 0.83546222 -16.789856 47.868459
    Unten links KachelX 59422 KachelY + 1 45635 -0.29308620 0.83543006 -16.792602 47.866617
    Unten rechts KachelX + 1 59423 KachelY + 1 45635 -0.29303827 0.83543006 -16.789856 47.866617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83546222-0.83543006) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dl = 204.891360000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83546222-0.83543006) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dr = 204.891360000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29308620--0.29303827) × cos(0.83546222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.670834968900734 × 6371000     		do = 204.84752789864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29308620--0.29303827) × cos(0.83543006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.670858818624143 × 6371000     		du = 204.854810698595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83546222)-sin(0.83543006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670834968900734-0.670858818624143)×R²
    abs(-0.29303827--0.29308620)×2.38497234082979e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38497234082979e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38497234082979e-05×40589641000000     		ar = 41972.2346788555m²