Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59420 / 59514
↖ ↑ ↗
← S 81.196376°
E146.403809°		 ← 93.48 m → S 81.196376°
E146.409302°		 →
↑
93.53 m
↓
↑
93.53 m
↓
S 81.197218°
E146.403809°		 ← 93.47 m →
8 742 m²		 S 81.197218°
E146.409302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906684875488281 y=0.908119201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906684875488281 × 216)
    floor (0.906684875488281 × 65536)
    floor (59420.5)     		tx = 59420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908119201660156 × 216)
    floor (0.908119201660156 × 65536)
    floor (59514.5)     		ty = 59514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59420 / 59514 ti = "16/59420/59514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59420/59514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59420 ÷ 216
    59420 ÷ 65536     		x = 0.90667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59514 ÷ 216
    59514 ÷ 65536     		y = 0.908111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90667724609375 × 2 - 1) × π
    0.8133544921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55522850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.81622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56424063447604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55522850} λ = 2.55522850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56424063447604))-π/2
    2×atan(0.0769776133991515)-π/2
    2×0.076826106716897-π/2
    0.153652213433794-1.57079632675     		φ = -1.41714411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55522850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41714411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.196376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59420 KachelY 59514 2.55522850 -1.41714411 146.403809 -81.196376
    Oben rechts KachelX + 1 59421 KachelY 59514 2.55532437 -1.41714411 146.409302 -81.196376
    Unten links KachelX 59420 KachelY + 1 59515 2.55522850 -1.41715879 146.403809 -81.197218
    Unten rechts KachelX + 1 59421 KachelY + 1 59515 2.55532437 -1.41715879 146.409302 -81.197218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41714411--1.41715879) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dl = 93.5262800002845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41714411--1.41715879) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dr = 93.5262800002845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55522850-2.55532437) × cos(-1.41714411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153048334129457 × 6371000     		do = 93.4800507051438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55522850-2.55532437) × cos(-1.41715879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153033827062388 × 6371000     		du = 93.4711899659995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41714411)-sin(-1.41715879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153048334129457-0.153033827062388)×R²
    abs(2.55532437-2.55522850)×1.45070670689862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45070670689862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45070670689862e-05×40589641000000     		ar = 8742.42704108579m²