Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59419 / 82529
↖ ↑ ↗
← S 42.230551°
W 16.800842°		 ← 226.10 m → S 42.230551°
W 16.798096°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
S 42.232585°
W 16.800842°		 ← 226.10 m →
51 137 m²		 S 42.232585°
W 16.798096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453334808349609 y=0.629650115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453334808349609 × 217)
    floor (0.453334808349609 × 131072)
    floor (59419.5)     		tx = 59419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629650115966797 × 217)
    floor (0.629650115966797 × 131072)
    floor (82529.5)     		ty = 82529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59419 / 82529 ti = "17/59419/82529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59419/82529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59419 ÷ 217
    59419 ÷ 131072     		x = 0.453330993652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82529 ÷ 217
    82529 ÷ 131072     		y = 0.629646301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453330993652344 × 2 - 1) × π
    -0.0933380126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29323001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629646301269531 × 2 - 1) × π
    -0.259292602539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.814591735243614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29323001} λ = -0.29323001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814591735243614))-π/2
    2×atan(0.44282007829311)-π/2
    2×0.416867082719048-π/2
    0.833734165438096-1.57079632675     		φ = -0.73706216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29323001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.800842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73706216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.230551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59419 KachelY 82529 -0.29323001 -0.73706216 -16.800842 -42.230551
    Oben rechts KachelX + 1 59420 KachelY 82529 -0.29318208 -0.73706216 -16.798096 -42.230551
    Unten links KachelX 59419 KachelY + 1 82530 -0.29323001 -0.73709766 -16.800842 -42.232585
    Unten rechts KachelX + 1 59420 KachelY + 1 82530 -0.29318208 -0.73709766 -16.798096 -42.232585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73706216--0.73709766) × R
    3.54999999999661e-05 × 6371000     		dl = 226.170499999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73706216--0.73709766) × R
    3.54999999999661e-05 × 6371000     		dr = 226.170499999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29323001--0.29318208) × cos(-0.73706216) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.740446319055045 × 6371000     		do = 226.104191092553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29323001--0.29318208) × cos(-0.73709766) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.74042245848814 × 6371000     		du = 226.096904981406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73706216)-sin(-0.73709766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740446319055045-0.74042245848814)×R²
    abs(-0.29318208--0.29323001)×2.3860566904732e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3860566904732e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3860566904732e-05×40589641000000     		ar = 51137.2740050144m²