Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59419 / 59542
↖ ↑ ↗
← S 81.219885°
E146.398315°		 ← 93.24 m → S 81.219885°
E146.403809°		 →
↑
93.27 m
↓
↑
93.27 m
↓
S 81.220724°
E146.398315°		 ← 93.23 m →
8 696 m²		 S 81.220724°
E146.403809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906669616699219 y=0.908546447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906669616699219 × 216)
    floor (0.906669616699219 × 65536)
    floor (59419.5)     		tx = 59419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908546447753906 × 216)
    floor (0.908546447753906 × 65536)
    floor (59542.5)     		ty = 59542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59419 / 59542 ti = "16/59419/59542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59419/59542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59419 ÷ 216
    59419 ÷ 65536     		x = 0.906661987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59542 ÷ 216
    59542 ÷ 65536     		y = 0.908538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906661987304688 × 2 - 1) × π
    0.813323974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55513262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.81707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56692510085477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55513262} λ = 2.55513262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56692510085477))-π/2
    2×atan(0.0767712467002289)-π/2
    2×0.0766209524145516-π/2
    0.153241904829103-1.57079632675     		φ = -1.41755442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55513262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.398315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41755442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.219885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59419 KachelY 59542 2.55513262 -1.41755442 146.398315 -81.219885
    Oben rechts KachelX + 1 59420 KachelY 59542 2.55522850 -1.41755442 146.403809 -81.219885
    Unten links KachelX 59419 KachelY + 1 59543 2.55513262 -1.41756906 146.398315 -81.220724
    Unten rechts KachelX + 1 59420 KachelY + 1 59543 2.55522850 -1.41756906 146.403809 -81.220724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41755442--1.41756906) × R
    1.46399999998437e-05 × 6371000     		dl = 93.271439999004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41755442--1.41756906) × R
    1.46399999998437e-05 × 6371000     		dr = 93.271439999004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55513262-2.55522850) × cos(-1.41755442) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152642845241123 × 6371000     		do = 93.2421079268899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55513262-2.55522850) × cos(-1.41756906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152628376784802 × 6371000     		du = 93.2332698489326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41755442)-sin(-1.41756906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152642845241123-0.152628376784802)×R²
    abs(2.55522850-2.55513262)×1.44684563214703e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44684563214703e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44684563214703e-05×40589641000000     		ar = 8696.41350518937m²