Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59419 / 59092
↖ ↑ ↗
← S 80.834408°
E146.398315°		 ← 97.30 m → S 80.834408°
E146.403809°		 →
↑
97.29 m
↓
↑
97.29 m
↓
S 80.835282°
E146.398315°		 ← 97.29 m →
9 466 m²		 S 80.835282°
E146.403809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906669616699219 y=0.901679992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906669616699219 × 216)
    floor (0.906669616699219 × 65536)
    floor (59419.5)     		tx = 59419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901679992675781 × 216)
    floor (0.901679992675781 × 65536)
    floor (59092.5)     		ty = 59092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59419 / 59092 ti = "16/59419/59092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59419/59092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59419 ÷ 216
    59419 ÷ 65536     		x = 0.906661987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59092 ÷ 216
    59092 ÷ 65536     		y = 0.90167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906661987304688 × 2 - 1) × π
    0.813323974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55513262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.8033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52378189119672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55513262} λ = 2.55513262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52378189119672))-π/2
    2×atan(0.0801558919412501)-π/2
    2×0.0799848843690409-π/2
    0.159969768738082-1.57079632675     		φ = -1.41082656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55513262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.398315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41082656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.834408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59419 KachelY 59092 2.55513262 -1.41082656 146.398315 -80.834408
    Oben rechts KachelX + 1 59420 KachelY 59092 2.55522850 -1.41082656 146.403809 -80.834408
    Unten links KachelX 59419 KachelY + 1 59093 2.55513262 -1.41084183 146.398315 -80.835282
    Unten rechts KachelX + 1 59420 KachelY + 1 59093 2.55522850 -1.41084183 146.403809 -80.835282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41082656--1.41084183) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dl = 97.2851700000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41082656--1.41084183) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dr = 97.2851700000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55513262-2.55522850) × cos(-1.41082656) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159288359496496 × 6371000     		do = 97.3015301451431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55513262-2.55522850) × cos(-1.41084183) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159273284443765 × 6371000     		du = 97.2923215268709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41082656)-sin(-1.41084183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159288359496496-0.159273284443765)×R²
    abs(2.55522850-2.55513262)×1.50750527315446e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50750527315446e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50750527315446e-05×40589641000000     		ar = 9465.54797068685m²