Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59418 / 82618
↖ ↑ ↗
← S 42.411291°
W 16.803589°		 ← 225.50 m → S 42.411291°
W 16.800842°		 →
↑
225.47 m
↓
↑
225.47 m
↓
S 42.413318°
W 16.803589°		 ← 225.50 m →
50 843 m²		 S 42.413318°
W 16.800842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453327178955078 y=0.630329132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453327178955078 × 217)
    floor (0.453327178955078 × 131072)
    floor (59418.5)     		tx = 59418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630329132080078 × 217)
    floor (0.630329132080078 × 131072)
    floor (82618.5)     		ty = 82618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59418 / 82618 ti = "17/59418/82618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59418/82618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59418 ÷ 217
    59418 ÷ 131072     		x = 0.453323364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82618 ÷ 217
    82618 ÷ 131072     		y = 0.630325317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453323364257812 × 2 - 1) × π
    -0.093353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29327795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630325317382812 × 2 - 1) × π
    -0.260650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.818858119309799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29327795} λ = -0.29327795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818858119309799))-π/2
    2×atan(0.440934862154504)-π/2
    2×0.41528983361764-π/2
    0.83057966723528-1.57079632675     		φ = -0.74021666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29327795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.803589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74021666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.411291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59418 KachelY 82618 -0.29327795 -0.74021666 -16.803589 -42.411291
    Oben rechts KachelX + 1 59419 KachelY 82618 -0.29323001 -0.74021666 -16.800842 -42.411291
    Unten links KachelX 59418 KachelY + 1 82619 -0.29327795 -0.74025205 -16.803589 -42.413318
    Unten rechts KachelX + 1 59419 KachelY + 1 82619 -0.29323001 -0.74025205 -16.800842 -42.413318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74021666--0.74025205) × R
    3.53900000000795e-05 × 6371000     		dl = 225.469690000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74021666--0.74025205) × R
    3.53900000000795e-05 × 6371000     		dr = 225.469690000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29327795--0.29323001) × cos(-0.74021666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738322450179366 × 6371000     		do = 225.502680704759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29327795--0.29323001) × cos(-0.74025205) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738298581006102 × 6371000     		du = 225.495390444852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74021666)-sin(-0.74025205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738322450179366-0.738298581006102)×R²
    abs(-0.29323001--0.29327795)×2.38691732638019e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38691732638019e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38691732638019e-05×40589641000000     		ar = 50843.1976516284m²