Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59415 / 60247
↖ ↑ ↗
← S 81.791701°
E146.376343°		 ← 87.20 m → S 81.791701°
E146.381836°		 →
↑
87.22 m
↓
↑
87.22 m
↓
S 81.792486°
E146.376343°		 ← 87.20 m →
7 605 m²		 S 81.792486°
E146.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906608581542969 y=0.919303894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906608581542969 × 216)
    floor (0.906608581542969 × 65536)
    floor (59415.5)     		tx = 59415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.919303894042969 × 216)
    floor (0.919303894042969 × 65536)
    floor (60247.5)     		ty = 60247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59415 / 60247 ti = "16/59415/60247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59415/60247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59415 ÷ 216
    59415 ÷ 65536     		x = 0.906600952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60247 ÷ 216
    60247 ÷ 65536     		y = 0.919296264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906600952148438 × 2 - 1) × π
    0.813201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55474913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.919296264648438 × 2 - 1) × π
    -0.838592529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.63451612931905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55474913} λ = 2.55474913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63451612931905))-π/2
    2×atan(0.0717536805123213)-π/2
    2×0.0716309160847594-π/2
    0.143261832169519-1.57079632675     		φ = -1.42753449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55474913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.376343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42753449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.791701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59415 KachelY 60247 2.55474913 -1.42753449 146.376343 -81.791701
    Oben rechts KachelX + 1 59416 KachelY 60247 2.55484500 -1.42753449 146.381836 -81.791701
    Unten links KachelX 59415 KachelY + 1 60248 2.55474913 -1.42754818 146.376343 -81.792486
    Unten rechts KachelX + 1 59416 KachelY + 1 60248 2.55484500 -1.42754818 146.381836 -81.792486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42753449--1.42754818) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dl = 87.2189900004214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42753449--1.42754818) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dr = 87.2189900004214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55474913-2.55484500) × cos(-1.42753449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14277228954872 × 6371000     		do = 87.2035683512553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55474913-2.55484500) × cos(-1.42754818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.142758739781692 × 6371000     		du = 87.1952923192682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42753449)-sin(-1.42754818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14277228954872-0.142758739781692)×R²
    abs(2.55484500-2.55474913)×1.35497670280538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.35497670280538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.35497670280538e-05×40589641000000     		ar = 7605.44624260234m²