Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59414 / 45606
↖ ↑ ↗
← N 47.920024°
W 16.814575°		 ← 204.69 m → N 47.920024°
W 16.811828°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
N 47.918183°
W 16.814575°		 ← 204.69 m →
41 900 m²		 N 47.918183°
W 16.811828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453296661376953 y=0.347949981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453296661376953 × 217)
    floor (0.453296661376953 × 131072)
    floor (59414.5)     		tx = 59414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347949981689453 × 217)
    floor (0.347949981689453 × 131072)
    floor (45606.5)     		ty = 45606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59414 / 45606 ti = "17/59414/45606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59414/45606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59414 ÷ 217
    59414 ÷ 131072     		x = 0.453292846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45606 ÷ 217
    45606 ÷ 131072     		y = 0.347946166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453292846679688 × 2 - 1) × π
    -0.093414306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29346970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347946166992188 × 2 - 1) × π
    0.304107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.955382409427719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29346970} λ = -0.29346970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955382409427719))-π/2
    2×atan(2.59966452908505)-π/2
    2×1.20357925732901-π/2
    2.40715851465801-1.57079632675     		φ = 0.83636219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29346970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.814575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83636219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.920024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59414 KachelY 45606 -0.29346970 0.83636219 -16.814575 47.920024
    Oben rechts KachelX + 1 59415 KachelY 45606 -0.29342176 0.83636219 -16.811828 47.920024
    Unten links KachelX 59414 KachelY + 1 45607 -0.29346970 0.83633006 -16.814575 47.918183
    Unten rechts KachelX + 1 59415 KachelY + 1 45607 -0.29342176 0.83633006 -16.811828 47.918183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83636219-0.83633006) × R
    3.21300000000191e-05 × 6371000     		dl = 204.700230000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83636219-0.83633006) × R
    3.21300000000191e-05 × 6371000     		dr = 204.700230000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29346970--0.29342176) × cos(0.83636219) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670167273571149 × 6371000     		do = 204.686335454353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29346970--0.29342176) × cos(0.83633006) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670191120435585 × 6371000     		du = 204.693618900571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83636219)-sin(0.83633006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670167273571149-0.670191120435585)×R²
    abs(-0.29342176--0.29346970)×2.38468644357948e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38468644357948e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38468644357948e-05×40589641000000     		ar = 41900.0854106747m²