Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59413 / 59517
↖ ↑ ↗
← S 81.198899°
E146.365356°		 ← 93.45 m → S 81.198899°
E146.370849°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
S 81.199739°
E146.365356°		 ← 93.44 m →
8 734 m²		 S 81.199739°
E146.370849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906578063964844 y=0.908164978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906578063964844 × 216)
    floor (0.906578063964844 × 65536)
    floor (59413.5)     		tx = 59413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908164978027344 × 216)
    floor (0.908164978027344 × 65536)
    floor (59517.5)     		ty = 59517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59413 / 59517 ti = "16/59413/59517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59413/59517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59413 ÷ 216
    59413 ÷ 65536     		x = 0.906570434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59517 ÷ 216
    59517 ÷ 65536     		y = 0.908157348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906570434570312 × 2 - 1) × π
    0.813140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55455738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908157348632812 × 2 - 1) × π
    -0.816314697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56452825587376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55455738} λ = 2.55455738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56452825587376))-π/2
    2×atan(0.0769554761741148)-π/2
    2×0.0768040998571755-π/2
    0.153608199714351-1.57079632675     		φ = -1.41718813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55455738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.365356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41718813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.198899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59413 KachelY 59517 2.55455738 -1.41718813 146.365356 -81.198899
    Oben rechts KachelX + 1 59414 KachelY 59517 2.55465325 -1.41718813 146.370849 -81.198899
    Unten links KachelX 59413 KachelY + 1 59518 2.55455738 -1.41720280 146.365356 -81.199739
    Unten rechts KachelX + 1 59414 KachelY + 1 59518 2.55465325 -1.41720280 146.370849 -81.199739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41718813--1.41720280) × R
    1.46700000001054e-05 × 6371000     		dl = 93.4625700006717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41718813--1.41720280) × R
    1.46700000001054e-05 × 6371000     		dr = 93.4625700006717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55455738-2.55465325) × cos(-1.41718813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153004832593825 × 6371000     		do = 93.4534804992034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55455738-2.55465325) × cos(-1.41720280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152990335310149 × 6371000     		du = 93.4446257356363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41718813)-sin(-1.41720280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153004832593825-0.152990335310149)×R²
    abs(2.55465325-2.55455738)×1.44972836753632e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44972836753632e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44972836753632e-05×40589641000000     		ar = 8733.98866873452m²